空间

然而，她也承认，作为博士生或博士后，往往要在预先设定好的项目中工作，还要面对严格的时间期限、成果要求和报告任务，很难找到发挥创造力的空间。

对于单纯复形X上不同的k维单形{σi(k),i=0,1,···}，我们把某个“由不同有向k-单形的整系数线性组合而构成的元素”称为该单纯复形空间的一个k-链(k-chain)，而所有k-链组成的集合则构成一个加法群或线性空间，称为k-链群，记为C(k)(X)：

对于单纯复形X上不同的k维单形{σi(k),i=0,1,···}，我们把某个“由不同有向k-单形的整系数线性组合而构成的元素”称为该单纯复形空间的一个k-链(k-chain)，而所有k-链组成的集合则构成一个加法群或线性空间，称为k-链群，记为C(k)(X)：显然在k-链群上我们需要引入合适的同态映射，这个同态映射将建立不同维k-链群之间的映射关系，这样的映射可以让k-链群的维度减小(如微

显然德拉姆上同调类的集合同构于调和形式的核，进一步根据以上的讨论外微分空间有下面的霍奇分解：

根据霍奇分解式(38)，定义德拉姆上同调类HdR(2k)(X)的外微分空间具有(p,q)型外微分形式空间Ω(p,q)的2k=p+q的层结构(显然Ω(p,q)⊂Ω(2k))，而其中只有外微分子空间Ω(k,k)是定义霍奇闭链的外微分空间，霍奇闭链也是多尔博上同调群H(p,q)中p=q=k上同调群H(k,k)(X)的元素，它是由闭(k,k)-形

上同调有两个基本特征：首先它只依赖于拓扑空间的洞(与单位元0元素有关，或由典型的边界路径，或者由同伦homotopy的概念来界定，此处不想牵扯太多概念，从略)，当然这也是同调的特征；

前面已经提到如果X是一个光滑的复射影代数簇，那么它有更好的几何性质，即它可以被唯一地分解为有限多个不可约代数集的并集，而且其每一个不可约子代数集在闭集的意义下可以构成一个拓扑空间，称为扎里斯基拓扑(Zariskitopology)。

对于具有群结构的拓扑空间利用同态核进行分类的方法最好存在一个有限的映射过程，而这就需要利用适当的同态映射找到一个递减或递增的链群结构，所以在单纯复形上我们首先要找到一个链群（复形）序列。

对于拓扑空间数学家主要研究在连续形变下拓扑空间的不变性(所谓连续形变就是指形变中没有断裂点、相交点或粘合点)，而拓扑几何体所对应的拓扑不变性用拓扑不变量(topologicalinvariants)来描述。

建立在单纯复形上的经典同调和上同调都能反映一个流形或拓扑空间的整体性质，但反映的方式不同，一个通过拆分而一个通过积分来表达。

建立在单纯复形拓扑空间上的上同调可以称为经典上同调，而如果我们允许单纯复形中单形的边或面等“部件”可以任意弯曲或拉伸，此时的单形就成为奇异单形(SingularSimplex)，而由奇异单形构成的链则变成了奇异链(SingularChain)，而由奇异链构成的复形就被称为奇异链复形(SingularChainComplex)，此时由单形构成单纯复形就可以通过连续地形变(连续映射)对应到一个拓扑空间M，而这个拓扑空间上的上同调则被称为奇异上同调(Si

所以欧拉示性数是抽象拓扑空间上的拓扑不变量，为了更为清晰地认识欧拉示性数的广泛意义，根据多面体欧拉数的规律可以在一个更加抽象和简单的拓扑空间上引入欧拉数的概念。

所以通过欧拉数可以区分不同的拓扑空间或连续曲面，比如球面的欧拉数χ=2，环面的欧拉数χ=0等等。

所谓同态(Homomorphism)表达了不同代数系统(algebraicsystem)之间的某种相似关系(similarform)，它不同于拓扑空间上的同胚映射。

所谓实流形M简单地讲就是：局部和欧几里得空间相似的拓扑空间(也就是流形M上任何一点及其邻域都和Rm空间的单位开球拓扑等价)；

所谓的同调其实就是指拓扑空间和欧拉数或曲面亏格有关的概念。

拓扑空间简单地来讲就是由集合X的子集为元素的一系列集族，而这些集族里的集合在集合交和并的运算下都保持封闭(集合是开集时集合交要求有限，集合是闭集时集合并要求有限)。

拓扑空间连续双射所导致的同胚概念本质上是拓扑空间的某些几何结构在连续变换时不发生改变，比如拓扑空间的维度、紧致性、联通性等性质不发生改变，而这些不发生改变的性质，可以通过对应的不变量来反映，这些量就称为拓扑不变量，它们是用来判定两个拓扑空间是否等价的必要条件。

显然代数簇X的所有子集满足拓扑的所有条件，故首先构成了一个拓扑空间。

显然同调和上同调捕捉拓扑空间“洞”的方式不同，同调理论的目标似乎是检测空间中的闭链是否能形成边界，而上同调的目标是检测空间函数在闭链上是否可积。

显然这些不同维的层流所组成的拓扑空间，具有良好的微分结构。

显然，奇异上同调来源于所研究几何体的连续性，它从由点和边的简单图形转变成了连续的几何拓扑空间，比如光滑流形M，从而经典的上同调理论被推广为奇异上同调理论。

根据前面讲的复射影代数簇X的性质，X不仅是一个拓扑空间，还可以是一个光滑的流形X→M，而在这个光滑的流形上存在一个很好的微分结构。

根据单纯复形上拓扑空间的性质，此时组成单纯复形拓扑空间的单形，其顶点之间就可以用随意弯曲的线连接并进一步成为一个连续的流层，而此时单纯复形就是由这些层流组成。

注意此处的复形可以对应到一个光滑流形，它也是一个拓扑空间，其上存在如上所述的链复形(chaincomplex)，此时所涉及的链群根据定义链系数的数域K不同可称为K链群，如有理链群、实链群或复链群等等。

然而如果复形成为一个连续的拓扑空间即流形，那它将对应一个超曲面，而这个超曲面可以通过一个三角剖分(不唯一)对应于一个单纯复形，从而也存在相应的欧拉数。

然而拓扑空间的拓扑性质有多种，其中最基本的拓扑不变性有：紧致性(封闭和有界的性质)、连通性(是否只有一个部分而不是多个独立部分的性质)以及豪斯朵夫(Hausdorffness)分离性(拓扑空间中点是否分离的)以及有向性(有没有内外的区分)等等。

由代数簇所决定的拓扑空间X上的连续变换对拓扑空间而言就是：不同的拓扑空间X和Y如果可以通过一个一对一的双射互相转变(同胚映射)，那么这两个拓扑空间就是拓扑等价的，称为拓扑同胚(homeomorphisms)，记为X~Y。

这个简单的拓扑空间就被称为单纯复形(simplicialcomplex)，而这个单纯复形的欧拉数可以通过更为广义的同调理论(cohomologytheory)来表达，所以同调可以反映拓扑空间或流形的整体性质，它是欧拉数的一个更为精细化的描述。

这种刻画洞的不同方式也表现在图3所示的同态映射决定链复形的方向性上，它们之间的关系在一般拓扑空间上会显得复杂(由一般系数定理给出)，但在m维定向闭流形M上，同调群H(k)(M)和上同调群H(m-k)(M)彼此同构(庞加莱对偶定理)。

那如何去统计和刻画这些洞来对拓扑空间进行分类或研究呢？

首先代数簇Z(m)(S)是由多项式集合S⊆K[x1,x2,···,xm]的零解集给定的，而这些零解集可以看成m维空间上的点集，这些点集可以构成一个拓扑空间，对应一定的几何结构；

在环境中，合理设计物理空间与技术设施，使其符合物理规律且契合人类感知与情感需求，如通过优化光照、色彩与布局来调节感觉与情绪；

（3）神经基础：前额叶皮层（PFC）的突触爆发式增长，将高维感官流投影到低维符号空间（类似自编码器的瓶颈层）。

Ω(k+1)→Ω(k)，所以调和形式空间的元素既是闭形式又是余闭形式(coclosedform)(无源且无旋)。

其中dΩk−1(X)是恰当形式空间，d†Ωk+1(X)称为余恰当形式空间,H(k)(X)是调和形式空间。

这个概念将改变数学家们看待空间的方式。

流形是由BernhardRiemann在19世纪中期引入的，改变了数学家对空间的思考方式。

1849年，他决定在CarlFriedrichGauss的指导下攻读博士学位，因为Gauss一直在研究曲线和曲面独立于其周围空间的内禀性质。

这一新视角让数学家们得以严格地探索高维空间——并进而催生了现代拓扑学，致力于研究跟流形类似的数学空间的一个领域。

不过到了19世纪早期，一些数学家开始探索其它种类的几何空间——不是平直的而是弯曲的，像球面和马鞍面那样。

接着你就可以使用这一图集——它的图表会把本来复杂的流形的小区域翻译成熟悉的欧氏空间——来逐片逐片地度量和探索流形了。