科学网—什么是流形？
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2025-11-15 10:18
| 个人分类: 黎曼几何 | 系统分类: 科研笔记
什么是流形？
19 世纪中期，Bernhard Riemann构想了一种新的方式来思考数学空间，而这种方式为现代几何与物理奠定了基础。
Paulina Rowińska 撰文
左 芬 翻译
【译注：原文2025年11月3日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
站 在一片田野中间，我们会很容易忘记我们生活在一个球形的行星上。我们跟地球比起来是如此的微不足道，以致在我们的视角里，它看起来是平的。
世界上充满了这种形状——在生活于其上的蚂蚁看来是平的，尽管它们可能有着相当复杂的全局结构。数学家把这些形状称为流形。流形是由Bernhard Riemann在19世纪中期引入的，改变了数学家对空间的思考方式。它不再只是其它数学对象的一个物理场景，自身也是一种定义良好的抽象对象，值得去研究。
这一新视角让数学家们得以严格地探索高维空间——并进而催生了现代拓扑学，致力于研究跟流形类似的数学空间的一个领域。流形还逐渐在几何、动力系统、数据分析以及物理学等领域中扮演了核心角色。
如今，它们为数学家解决各种问题提供了一套通用的词汇。它们在数学中的基础性，就如同字母表在语言中一样。“我懂西里尔字母，是不是就会俄语了？”意大利比萨大学数学家Fabrizio Bianchi说道，“不是的。但是你可以试试看不学西里尔字母就去学俄语会怎么样。”
那么什么是流形，它们又提供了何种词汇呢？
给思想赋予形状
在几千年里，几何就意味着对欧氏空间也就是我们在周围看到的平直空间里的对象的研究。“在19世纪以前，‘空间’意味着‘物理空间’”，西班牙塞维利亚大学的科学哲学家José Ferreirós说道，就好比一维的直线，或者二维的平面。
在欧氏空间里，物体的行为符合你的预期：任意两点之间的最短路径是直线。三角形的角度之和是180度。微积分工具是可靠的，定义良好的。
不过到了19世纪早期，一些数学家开始探索其它种类的几何空间——不是平直的而是弯曲的，像球面和马鞍面那样。在这些空间里，平行线可能最终会相交。三角形的角度之和可能大于或者小于180度。并且做微积分也变得没那么直接了。
数学界在接受（或者说哪怕是理解）几何思考方式的这一转变上有些费劲。
不过也有些数学家希望把这些想法推得更远。其中之一就是Bernhard Riemann，一个害羞的年轻人，最初打算学神学——他父亲是一位牧师——但最终被吸引到了数学。 1849年，他决定在Carl Friedrich Gauss的指导下攻读博士学位，因为Gauss一直在研究曲线和曲面独立于其周围空间的内禀性质。
Bernhard Riemann 被普遍视为历史上最伟大的数学家之一。他的工作革新了几何、拓扑、数论等多个领域。
1854 年，Riemann按要求需要做一个报告，以获得哥廷根大学的教师职位。指派给他的主题是：几何的基础。6月10日，在有点害怕公开演讲的情况下，Riemann描述了一种新理论，把Gauss关于曲面几何的想法推广到了任意维度（甚至无穷维度）。
Gauss 立刻被报告内容打住了，因为它已经不局限于数学，还涉及了哲学和物理学。可是大多数数学家觉得Riemann的思想过于模糊和抽象了，没有太大的用处。“许多科学家和哲学家都说，‘这就是胡扯，’” Ferreirós 说道。正因如此，在数十年里，这一工作很大程度上被忽视了。Riemann的报告直到1868年才印行，那时他已过世两年了。
不过到了19世纪末期，Henri Poincaré这类数学伟人开始意识到Riemann思想的重要性。而在1915年，Albert Einstein在他的广义相对论里用到了它们，从而将它们从抽象的哲学王国带进了现实世界里。到了20世纪中期，它们已经成为了一种数学支柱。
Riemann 在任意维度中引入了可以囊括所有可能的几何的一个概念。这个概念将改变数学家们看待空间的方式。
流形。
疆域制图
“流形”这个词源自Riemann的 Mannigfaltigkeit ，它在德语里的含义是“种类”或“多样性”。
流形是这样的一个空间，当你在它的任何一个点上放大去看时都像是欧氏空间。比方说，圆是一个一维流形。在它的任何位置放大，它看起来都像是一条直线。生活在圆上的一只蚂蚁永远不会知晓它其实是圆的。可是在8字形上放大，在它跟自己相交的那个点上，它怎么看也不会像一条直线。蚂蚁在交叉点上会意识到它不在一个欧氏空间里。因此数字8不是一个流形。
类似地，在两维里，地球的表面是一个流形；在地球上任何地方放大到足够程度，它都会像是一个2维平面。可是双锥体——两个圆锥体在顶端相连构成的形状——的表面就不是流形。
流形解决了数学家不可避免要处理的一个问题：一种形状的性质会随着它所处的空间的本质与维度（以及它处于空间中的方式）而变化。例如，把一根弦放在桌面上，然后在不拎起的情况下把端点连起来。你会得到一个简单的圈。现在把弦拿到空中，再把端点连起来。把弦拿到空中后，你可以让它从上或从下越过自身再连上端点，得到各种各样不同于简单圈的扭结。它们全都代表着相同的一维流形——构成圈的弦——可是当放在二维和三维中时有着不同的性质。
数学家通过聚焦于流形的内禀性质来避免这种含糊性。流形的定义特征——在任何点，它们看起来都是欧氏的——在这方面极其有用。因为可以把流形的任何小片看成是欧氏空间，数学家就可以使用传统的微积分技术来计算它的面积或体积，或者是描述其上的运动。
“我懂西里尔字母，是不是就会俄语了？当然不是。但是你可以试试看不学西里尔字母就去学俄语会怎么样。”
—— Fabrizio Bianchi, 比萨大学
为此，数学家把一个给定流形分割成许多相互重叠的片，并用一个“图表（chart）”——一组确定数目（等于流形的维度）的坐标，告诉你在流形的什么位置——来表示每一片。关键在于，你还得写出一套规则，来刻画重叠图表的坐标如何相互关联。所有这些图表的集合称为图集（atlas）。
接着你就可以使用这一图集——它的图表会把本来复杂的流形的小区域翻译成熟悉的欧氏空间——来逐片逐片地度量和探索流形了。如果你想要理解一个函数在流形上的行为，或者对流形的整体结构有所把握，你可以把问题分解成片段，在每个图表上求解每个欧氏空间中的片段，再通过图集的所有图表把结果缝合起来，得到你想要的完整答案。
如今，这一方法在数学和物理学中无处不在。
流形的用途
首先，流形对于我们理解宇宙而言是至关重要的。在他的广义相对论里，Einstein将时空描述为四维流形，而将引力描述为该流形的曲率。我们在周围看到的三维空间也是一种流形——并且作为流形，在生活在其中的我们看来是欧氏的，尽管我们仍在试图弄清它的整体形状。
哪怕在看起来并不存在流形的情况下，数学家和物理学家也努力把他们的问题用流形的语言重写，以利用它们有用的性质。“物理学有很多内容归结为理解几何，”普林斯顿大学理论物理学家Jonathan Sorce说道，“并且往往是以意想不到的方式。”
考虑一个双摆，也就是把一个摆悬挂在另一个摆的末端构成的体系。双摆初始条件的微小变化会让它在空间中划出截然不同的轨迹来，使得它的行为难以预测和理解。可是如果你把摆的构型就用两个角度（分别描述它的一个摆臂的位置）来表示，那么所有可能构型的空间看起来像是一个甜甜圈，或者说环面——一种流形。这个环面上的每个点代表摆的一种可能状态；环面上的路径代表摆在空间中可能走出的轨迹。这就让研究者得以把关于摆的物理问题翻译成了几何问题，把它们变得更加直观，也就更容易解决了。同样他们也用这种方式来研究诸如流体、机器人以及量子粒子等等的运动。
类似地，数学家往往也把复杂代数方程的解看成流形，来更好地理解它们的性质。并且他们在分析高维数据集——比如对大脑中数千个神经元活跃状况的记录数据——时也会检查这些数据是否可能以某种方式处在一个低维度的流形上。
问科学家怎么使用流形的，就好比问他们怎么使用数字的，Sorce说道，“它们是万事万物的基础。”
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/what-is-a-manifold-20251103/
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