科学网—我们不知道答案的125个科学问题(121)霍奇猜想之三霍奇猜想
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2025-7-3 09:56
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121. 霍奇闭链可以写成代数闭链的和吗？
Can a Hodge cycle be written as a sum of algebraic cycles?
题记 ：两种有用的数学结构在几何学( 霍奇闭链 )和抽象代数( 代数闭链 )中独立出现。 霍奇猜想 提出了它们之间一个令人惊讶的联系，但它们之间的这个桥梁到现在依然尚未完全建立。
一、代数闭链
0. 引言； 1. 代数簇； 2. 代数簇上的代数闭链； 3. 代数闭链的等价关系；
二、霍奇闭链
4. 复射影代数簇的丰富性质； 5. 复射影代数簇的拓扑性质：同调和上同调； 6. 流形上的微分结构和德拉姆上同调； 7. 霍奇闭链；
三、霍奇猜想
在介绍霍奇猜想的基本内容之前，我们先总结一下前面两节的内容： 代数闭链 和 霍奇闭链 。首先代数簇是多项式函数集合的零解集构成的几何结构，这种几何结构根据多项式函数环的层级结构性质可以进行有限分解，从而任何代数簇都可以分解为其不可约子代数簇的直和，从而可以研究由不可约代数子簇所组成的代数簇上的整数线性空间： 代数闭链 ，以及整数闭链的群结构及其各种不同的等价类 (代数闭链的概念显然可以直接推广到有理数链、实数链或者复数链)，最后在有理等价类周群的基础上明确了代数闭链系统的周环的层次结构；另一方面，由于具有良好性质的代数簇其不可约子代数簇之间相互关系可以构成一个拓扑空间，在这个拓扑空间上可以从拓扑不变量的角度研究其拓扑性质： 拓扑同调 。先以简单几何体上的拓扑不变量 欧拉数 为线索，利用同调理论在最简拓扑几何体—单纯复形—上介绍了不同维单形构成的线性空间群：整数 k- 链，并利用边界同态映射研究了同调和上同调群，发现同调群整体上在杯积的运算下也具有同调环的层级结构；最后将整数单形链推广到有理数、实数甚至复数链的奇异单形，并介绍了奇异单形上的奇异上同调；然后进一步推广奇异单形到连续的流形上的外微分单元，利用光滑流形上的外微分结构讨论了德拉姆上同调群理论；最后利用复微分流形上的内积对偶性，进一步介绍了复微分流形上的调和形式并由此介绍了 霍奇闭链 ( 霍奇类 )的概念。根据以上的知识下面我们来介绍霍奇猜想的具体内容。
8. 矢量空间微分结构的调和形式
由于外微分矢量空间的 调和形式 在霍奇猜想中占有非常重要的地位，所以我们对外微分结构中所涉及到的调和形式进行进一步讨论。所谓调和型外微分形式是满足 ∆ ω ( k ) = 0 的外微分形式，此处算子 ∆ 被称为 霍奇-拉普拉斯算子 (Hodge Laplacian) 。由于我们所研究的 k 阶外微分形式 ω ( k ) 所组成的空间 Ω ( k ) ( X ) 是一个复的矢量空间，也就是复线性空间，空间内的外微分形式就是 矢量 (例如元素 ω ( k ) 就是 k 阶矢量，基矢由不同的 k 阶外微分构成，有 C m k = m !/( m - k )! 个 分量 )，不同阶矢量空间 Ω ( k ) ( X ) 之间的映射可看成矩阵(比如外微分运算 d 就对应一个矩阵)，所有的运算将在矢量的运算下进行。
为了表 述 清晰 我们先从物理角度给出三维矢量场运算的两个重要的等式。首先外微分0 - 形式 ω (0) ( X ) 是定义于 X 上的标量函数 ω (0) ( X ) → f ( p ), p ∈ X ，对其外微分 d ω (0) 物理上就对应标量场的 梯度 ，得到外微分的 1- 形式： ∇ f = ∂ f j /∂z j dz j ，其中 p =(z 1 , ··· , z m ) 为 p 点的局域坐标框架，显然标量场的梯度是矢量场；而一个矢量场的旋度 ∇ × A 对应于 2- 形式，矢量场的散度 ∇· B 会得到 3- 形式，而三维空间不存在更高的外微分形式。根据物理知识这些矢量运算具有下面两个重要的性质：
这里从矢量角度来讲，一个矢量场首先可以分解为 旋度 和 散度 两个独立的场，所以式 (31) 揭示了矢量运算的两个基本性质：梯度场的旋度为零、旋度场的梯度为零。如果梯度对应一个映射，其映射矩 阵 表示为 ∇ → D 0 ，它作用于 0- 形式的矢量，并把它转变为 1- 形式的矢量；同理，旋度运算对应映射矩阵 ∇ × → D 1 ，散度映射对应矩阵 ∇· → D 2 ，那么式 (31) 就可以表述为： D 1 D 0 = 0 、 D 2 D 1 = 0 (和前面单纯复形上边界算子的性质类似)。在这些算符的运算中，还存在这样的算符： ∇· ∇ ≡ ∇ 2 → D 2 D 0 ，这种算符具有特殊的性质，被称为 拉普拉斯算子 。如果标量函数 f ( x , y , z ) ( 0- 形式)满足拉普拉斯方程： ∇ 2 f = 0 ⇔ D 2 D 0 ω (0) = 0 ,则 f ( x , y , z ) 或 0- 形式 ω (0) 就被称为 调和函数 或 调和形式 。如果把实空间推广到复空间，调和形式对应一个非常重要的概念，称为 对偶矢量空间 的 伴算子 。此时会涉及到矢量的对偶矢量及它们之间的 内积运算 ： ⟨ u | v ⟩ → C 。而拉普拉斯算子本征值是0的解，即拉普拉斯算子的核就是 调和形式 ，决定调和形式的拉普拉斯算子 ∇ 2 可以写为梯度伴算子 ∇ † 与梯度算子 ∇ 的乘积： ∇ 2 = ∇ † ∇ 。为方便重新定义拉普拉斯算子为： ∆ 0 = −∇ 2 = ∇ † ∇ → D 0 † D 0 。显然它是作用在 0- 形式上的拉普拉斯算子。同样作用在 1- 形式上的拉普拉斯算子为： ∆ 1 = ∇∇ † + (∇×) † (∇×) = D 0 D 0 † + D 1 † D 1 。这样三维矢量场中任何矢量都可被分解为三部分的和： 散度场 + 旋度场 + 调和场 (无源无旋场)，用数学表达就是矢量空间 V 1 它可以分解为如下子空间的 直和 ：
其中拉普拉斯算符 ∆ 1 的核和像分别为： ker(∆ 1 ) = ker(∇×)∩ker(∇·) ； im( ∆ 1 ) = im((∇×) † ) ⊕ im(∇) 。以上的矢量运算和映射关系在电磁学中可以非常容易得到验证，此处略。
根据三维空间中物理矢量场的直观讨论，以上的结果可以直接推广到如下的 上链复形 上：
根据(33)式的映射链上可以得到如下的结果： (1) d k d k −1 = 0 ；伴算子形式： d † k- 1 d k † = 0 ，这个条件又称为 余调和 映射条件 ； (2) 定义于 ω ( k ) ∈ Ω ( k ) ( X ) 上的 k 阶 霍奇-拉普拉斯算子 (Hodge k-Laplacian) 自然为：
显然，所有满足椭圆方程 ∆ k ω ( k ) =0 的外微分形式 ω ( k ) 就被称为 k 阶调和形式 (harmonic form) 。当然如果不强调算子作用空间的阶数 k ，则霍奇-拉普拉斯算子可写为： ∆ = dd † + d † d = (d + d † ) 2 ，而所有满足 ∆ ω h = 0 的 ω h 就被称为调和形式。显然调和形式的定义利用了外微分的伴算子 d † ，而引入伴算子必须要求存在 内积 ( 伴算子 定义为： 内积 ⟨ ω ( k +1) | d η ( k ) ⟩ = ⟨d † ω ( k +1) | η ( k ) ⟩ ，其中 ω ( k +1) 和 η ( k ) 都为 X 上的外微分形式)，也就是 X 必须是紧致黎曼流形，具有内积测度或度量，那么霍奇-拉普拉斯算子 ∆ = d d † + d † d 中外微分算子 d 的伴算子(厄密共轭算子) d † 又称为 余微分算子 ，其作用是将 ( k + 1)- 阶微分形式映射为 k- 阶形式 d † : Ω ( k +1) → Ω ( k ) ，所以调和形式空间的元素既是 闭形式 又是 余闭形式 (coclosed form) (无源且无旋)。
根据前面的讨论，定义在上链复形式 (33) 上的德拉姆上同调 H dR (k) ( X ) 显然满足：
上同调类 H dR (k) ( X ) 是外微分算子 d 在矢量空间 Ω ( k ) ( X ) 上的 核 (闭形式)模掉 像 (恰当形式)的同调类的集合。显然德拉姆上同调类的集合同构于调和形式的核，进一步根据以上的讨论外微分空间有下面的霍奇分解：
其中霍奇-拉普拉斯算子的像满足： im(∆ k ) = im(d k † ) ⊕ im(d k −1 ) 。此时的霍奇正交分解：
其中 dΩ k −1 ( X ) 是恰当形式空间， d † Ω k +1 ( X ) 称为余恰当形式空间, H ( k ) ( X ) 是调和形式空间。显然每个德拉姆上同调类 [ ω ]∈ H dR ( k ) ( X ) 存在唯一的 调和形式代表元素[] ，即有： ，这个同构关系表明：调和形式是德拉姆上同调群的“最佳代表”，它兼具分析性质(满足椭圆方程)与拓扑不变性于一体。根据以上对调和形式的分析可见，霍奇闭链是一类特殊的调和形式链。为了理解更为清晰，我们将 霍奇闭链 的概念总结如下。
设 X 为 m 维非奇异复射影代数簇，一个上 同调类 α ∈ H dR (k) ( X , Q ) 称为 有理霍奇闭链 ，若它满足以下条件： (1) α 属于德拉姆上同调群： α ∈ H dR (2 k ) ( X , C ) ； (2) α 是 ( k , k ) - 型： α ∈ H dR (2 k ) ( X , Q ) ∩ H ( k , k ) ( X ) ； (3) α 是调和形式： ∆ α = 0 ，其中霍奇-拉普拉斯算子 ∆ = dd † + d † d 。从以上的三个条件可以看出霍奇闭链的物理意义可类比为具有复对称结构的“无源无旋场”(如静磁场)，其特殊的几何性对称性可以从 霍奇分解定理 中看到：
其中 H ( k , k ) ( X ) 分量对应复结构的对称性。显然霍奇闭链首先是 2 k 偶数阶 (2 k -forms) 的德拉姆上同调类，其次它必须是 2 k 阶 ( p , q ) 型外微分上同调层中的 对角实形式 ，即 H ( k , k ) ( X ) 上同调类。根据霍奇分解式 (38) ，定义德拉姆上同调类 H dR (2 k ) ( X ) 的外微分空间具有 ( p , q ) 型外微分形式空间 Ω ( p , q ) 的 2 k = p + q 的 层结构(显然 Ω ( p , q ) ⊂ Ω (2 k ) )，而其中只有外微分子空间 Ω ( k , k ) 是定义霍奇闭链的外微分空间，霍奇闭链也是多尔博上同调群 H ( p , q ) 中 p = q = k 上同调群 H ( k , k ) ( X ) 的元素，它是由闭 ( k , k )- 形式模去恰当形式构成，显然 H ( k , k ) ( X ) 包含了 ( k , k ) 型的外微分形式中的调和形式类。
9. 霍奇猜想：霍奇闭链和代数闭链的关系
霍奇猜想给出了 霍奇闭链 和 代数闭链 之间的对应关系，然而根据不同的角度和理解的层次，霍奇猜想的表述多种多样，下面罗列出其中常见的几种：
(1) 根据本文介绍霍奇猜想的逻辑，最合适本文的表述为：当 X 为复射影代数簇时，霍奇猜想断言霍奇闭链 由有理代数闭链 Z j 类 生成。
或者表述为：在非奇异复射影代数簇 X 上，任何 ( k , k ) 型霍奇类(霍奇闭链)都是代数闭链类的有理线性组合；或者，在光滑复射影代数簇上，每个霍奇类均可表示为有理代数闭链(代数子簇类的有理线性组合)的上同调类。
(2) 霍奇猜想还可以这样描述：设 X 是一个非奇异复射影流形，则其上的所有霍奇类都是代数的，也就是说复代数簇的代数闭链可映射到奇异上同调群中的霍奇类(霍奇闭链)；或者所有霍奇类均为代数闭链类的像。
根据以上的各种表述可以发现，霍奇猜想认为对于光滑复射影代数簇 X ，其上的所有霍奇类都是某代数闭链类的有理系数的线性组合，这意味着代数闭链生成的类在有理系数下完全覆盖了所有霍奇类，这就建立了代数几何与分析几何之间的桥梁，它的本质是描述拓扑定义的上同调类能否由代数几何对象实现的问题，也就是如何用代数闭链去构造具有调和结构的霍奇闭链。开始霍奇猜想自然认为代数子簇可以作为基本单元来构建任何拓扑几何对象，而 莱夫谢茨 (1,1) - 定理 (Lefschetz (1,1)-theorem) 也证明：整数域的霍奇类 H dR (2) ( X , Z ) ∩ H (1,1) ( X ) 可表示为整数代数闭链的上同调类，即每个代数闭链的有理等价类对应一个整系数的 (1,1)- 霍奇类。然而当希望将此结论推广至高维时发现 了反例 (克莱尔 · 瓦赞 Claire Voisin 构造了 H (2,2) ( X ) 中的非代数类)，此时需要将整数系数 λ j 扩展到理数域 Q 。霍奇猜想要求将抽象的拓扑对象(霍奇类)实现为具体的几何对象(代数子簇的组合)，整数代数闭链因限制过强，无法覆盖所有霍奇类，而有理系数提供了必要的灵活性。有理系数允许对代数子簇进行“切割”，允许代数子簇的“分数部分”做为“部件”参与组合，更贴合复流形的几何性质(如复结构的对称性)。
其实，霍奇猜想最开始的设想是：如果随意给定一个拓扑几何形状，它一定可以和一个多项式所描述的形状 同胚 。然而 1982 年 M. H. Freedman 发现了 Freedman E 8 流形，他发现这个四维空间中的流形无论经过何种拓扑变换，都无法被一个多项式描述。所以霍奇猜想修改为：找出能够确保一个形状在经过拓扑变换后能被多项式描述的条件。简而言之，霍奇猜想试图建立一个连接代数几何、微分几何与拓扑学的确切桥梁，虽然那个桥梁似乎就在眼前，但人类还是无法踏上这座桥从拓扑学的微分几何走到代数几何的彼岸，尽管两岸的世界：以 霍奇闭链 和 代数闭链 为地基的数学大厦的形状是 如此地相似 ，而这种相似形表现在建立在代数闭链的周群和周环结构与建立在微分几何结构上的上同调群和上同调环结构如此地一致，但却找不到连接它们的桥梁。
所以最后我们给出复射影空间 X 上代数闭链的周群和其对应拓扑空间上的上同调群之间的相似联系。设 X 是一个光滑复射影代数簇，则根据代数闭链的知识，复射影代数簇 X 上的代数闭链群 C ( p ) ( X ) (表示余维 p 的代数闭链所组成的群)会定义一个 p 阶周群 CH ( p ) ( X ) (由余维 p 的代数闭链的有理等价类所构成的商群)，而这 p 阶周群和 X 上的整数上同调群 H (2 p ) ( X , Z ) 之间存在如下的一个 闭链映射 (cycle map) ： cl p : CH ( p ) ( X ) → H (2 p ) ( X , Z ) 。显然这个关系是直接的，传统代数闭链是 整数链 ，所以应该对应为整系数奇异上同调群，而复上同调群依赖于复数域上的外微分结构，它的维度自然对应为 2 p 。首先在 m 维复射影空间内描写代数闭链的多项式环 具有层级结构 ：
其中 C [z 1 , z 2 ,··· , z m +1 ] k 为 k 阶齐次多项式 (homogeneous polynomials of degree k ) 。这就决定了代数簇的有理等价分类的周群也构成了 周环的层级结构 ：
其中 CH ( k ) ( X ) 是余维数为 k 的代数子簇的有理等价类群，即 k 阶周群 (Chowgroup) 。而外微分诱导的德拉姆上同调群同样具有 环的层级 结构 ：
周群上的 相交积 (intersection product) 和外微分上的上同调的 杯积 (cup prod-uct) 也有相似的地方，所以它和德拉姆上同调的关系为存在群同态的 闭链映射 (cycle-class mapping) ：
显然对于整数代数闭链的 k 阶周群 CH ( k ) ( X ) ，其自然映射到 整数 霍奇闭链(类) Hdg (2 k ) ( X , Z ) 。但由于整数霍奇猜想不成立，所以将整数 Z 改为有理数 Q ，这样目前霍奇猜想中的霍奇闭链定义为：
所以霍奇猜想 又可以表述为 ：根据周环和上同调空间的层级结构，霍奇猜想要求霍奇闭链 Hdg (2 k ) ( X , Q ) ≡ H dR (2 k ) ( X , Q ) ∩ H ( k , k ) ( X ) 由周群 CH ( k ) ( X )⊗ Q 生成，也就是说“所有高维 ( m >3 ) 霍奇类为代数闭链的有理线性组合”要求上面的从代数闭链向霍奇闭链的链映射 CH ( k ) ( X ) ⊗ Q → Hdg (2 k ) ( X , Q ) 是一个 满射 ，也就是不存在不能表达为代数闭链类的霍奇闭链。
**参考文献在此无法全部列出，向所有形成本文的参考资料的作者表示抱歉和感谢。
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