科学网—王春艳｜波粒互成：王虹、邓煜菲尔兹奖工作趣谈-清华大学出版社学术期刊的博文
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2026-8-4 08:56
| 个人分类: 物理与工程 | 系统分类: 论文交流
摘要
2026年菲尔兹奖得主王虹与邓煜的研究方向看似相距甚远：王虹主要从事调和分析与几何测度论研究，邓煜则研究偏微分方程、概率方法与数学物理。然而，从物理学的视角考察，两人的工作呈现出一种引人注目的对称结构。王虹从傅里叶分析中的波出发，借助波包分解将连续振荡的局域传播转译为具有位置、尺度和方向的波包与细管几何；邓煜则从大量粒子或波模的微观动力学出发，在特定缩放和极限条件下严格推导相应的动理学及流体方程。前者由波见形，揭示波的局域化及其空间几何；后者由粒见场，说明离散个体如何在适当极限下形成连续的统计描述。本文以“波粒互成”为认识框架，介绍王虹在三维Kakeya问题及相关调和分析问题上的贡献，以及邓煜在波动动理学、Boltzmann方程和流体方程严格推导方面的工作。在明确区分这些研究与量子力学波粒二象性的基础上，文章讨论数学在物理学中超越“计算工具”的作用：数学不仅表达已知规律，还负责建立不同尺度、不同表象和不同理论层次之间的逻辑桥梁。两位数学家的工作提示我们，大学物理教育不应只把方程作为知识的起点，更应引导学生追问方程从何而来、在哪个尺度上成立，以及自然界的连续与离散如何相互联系。
关键词：菲尔兹奖；王虹；邓煜；波粒二象性；Kakeya问题；Boltzmann方程；跨尺度建模
一、Fields不是“场们”吗？
说起菲尔兹奖，人们通常不会特别留意它的英文名称：Fields Medal。学过一点英语和物理的人，看到Fields难免会心中一动：field是“场”，fields不就是“场们”吗？
当然，这只是一个有趣的文字游戏。菲尔兹奖中的Fields是加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹（John Charles Fields）的姓氏，并不是普通名词field的复数。不过，人名Fields与表示多个场的fields神奇的同形同音。更巧的是，2026年获得菲尔兹奖的王虹与邓煜，其研究恰好可以把我们带到波场、分布场、速度场和温度场等一群“场们”之间。
根据国际数学联盟的正式授奖说明，王虹因其在调和分析和几何测度论中的贡献获奖。授奖说明特别提到她在多尺度方法和解耦理论方面的工作，以及这些成果在傅里叶限制问题、局部光滑化、Falconer距离集、Furstenberg集和三维Kakeya问题中的应用。邓煜则因其在偏微分方程方面的工作获奖，包括从稀薄气体硬球动力学严格推导Boltzmann方程、从非线性色散系统推导波动动理学方程，以及对非线性薛定谔方程动力学所发展的概率方法 [1] 。
单看这些术语，二者似乎属于两个不同的数学世界。王虹研究线、管、集合、维数和傅里叶变换；邓煜研究粒子碰撞、非线性波、概率分布和偏微分方程。
但从物理的角度看，他们面对的其实是同一种深层问题：
局域对象怎样形成整体结构？整体波动又怎样显现为局域对象？
当观察尺度发生改变时，自然规律怎样从一种形式转化为另一种形式？
王虹从波出发，研究连续波动在局域尺度上如何显现为具有位置和方向的几何结构；邓煜则从粒子和波模出发，研究大量微观自由度如何在适当尺度极限下形成连续的统计描述。
王虹由波见形，邓煜由粒见场。
王虹把波拆成管，邓煜把粒子汇成流。
这里所说的“波粒互成”，不是把两人的研究简单归入量子力学的波粒二象性，它概括的是两类数学结构：连续波动可以通过波包分解显现出具有位置、尺度和方向的局域几何；大量粒子或波模的微观动力学，则可以在适当极限下形成连续的统计描述。本文借助波与粒、连续与离散、整体与局域之间的这些联系，重新认识现代数学与物理的关系。
二、王虹：波如何在空间中显现为“管”
1. 傅里叶分析研究的不只是频率
在普通物理课程中，傅里叶分析通常被介绍为一种分解方法：一个复杂振动可以写成许多不同频率简谐振动的叠加。
例如，一个波场可以形式地表示为：
每一个平面波都有确定的波矢 k，因此具有确定的传播方向，却完全铺展在整个空间中，没有确定的位置。
相反，一个严格局域于某处的函数，需要许多不同波矢的叠加。它拥有大致的位置，却不再具有完全确定的动量或传播方向。
真实的波动现象通常处在两者之间。研究者把频率限制在一个小范围，同时把传播方向限制在一个小角度内，便得到一个既相对局域、又具有主要传播方向的波包。
在有限的时空尺度上，这样的波包通常集中在一条细长区域内。数学上，这一区域常被近似为一根“管”。
于是，傅里叶分析中出现了一条重要的翻译链：
频率局域 → 方向局域 → 波包 → 空间中的细管
原本不可见的振荡频率，在真实空间中变成可以研究其位置、方向和重叠方式的几何对象。从这个意义上说，波表现出一种“粒子式”的局域性。
这里的波包并不是经典质点，也不能与量子测量中探测到的粒子直接等同。但它具有某些类似经典轨迹图像的几何特征：它集中在有限区域内，沿主要方向传播，并可能与其他波包相遇、重叠或分离。
连续的振荡被转化为局域的几何对象。
2. Kakeya问题：所有方向能否挤进极小空间
Kakeya问题最初可以表述为一个看似简单的几何问题。设想一根长度为1、粗细可以忽略的针。我们希望它在某个集合中转过所有方向。这个集合最小可以有多大？
二维中存在面积可以任意小的Kakeya集合。也就是说，尽管集合中包含每一个方向的单位线段，它的面积却可以无限接近于零。这似乎意味着：所有方向可以被压缩到极小的区域中。
但面积小并不等于几何维数低。Kakeya猜想提出，在 n 维空间中，任何包含每个方向单位线段的集合，都必须具有完整的 n 维Hausdorff维数。
王虹与Joshua Zahl证明，在三维空间中，每一个Kakeya集合的Hausdorff维数和Minkowski维数都等于3。换言之，一个包含所有方向单位线段的集合，体积可以为零，却不能真正退化成二维曲面或更低维对象 [2] 。
方向可以高度重叠，却不能无代价地丢失空间维数。
三维Kakeya问题的困难，不只是判断许多线段能否放在一起，而是理解不同方向的细管如何在多个尺度上聚集。
两根细管可以相交，许多细管也可能集中在薄片、曲面或更复杂的层级结构附近。如果只在一个尺度观察，它们可能显得极其拥挤；换一个尺度，却又显现出新的分叉和疏散结构。
王虹与合作者的证明建立在多尺度分析之上。Larry Guth在对该证明的系统阐释中指出，整个证明的“主角”正是在许多不同尺度上反复考察细管的聚集结构。某种病态配置若要成为最极端的反例，就必须在各尺度上同时拥有非常特殊的几何和代数结构，而这些结构最终彼此冲突 [3] 。
因此，王虹的研究并不是单纯解决了一道“转针题”。它回答了调和分析中的一个核心问题：
当许多不同方向的波包共同传播时，它们能够在空间中集中到什么程度？
3. 为什么Kakeya问题属于波动问题
Kakeya问题之所以成为调和分析的核心，并不是因为数学家特别关心针，而是因为细管正是局域波包的空间模型。
一个方向确定到一定精度的波包，在有限传播距离内占据一根细管。许多频率和方向不同的波包叠加，便对应许多细管的交叉和重叠。
如果大量不同方向的波包能够异常集中，波场就可能产生很强的局域峰值；如果这种集中受到几何限制，就可以进一步得到关于波动方程、振荡积分和傅里叶限制算子的估计。
因此，从物理图像看，王虹所研究的是：
波的频谱结构 ↔ 波包的传播方向 ↔ 细管的空间几何
她不是把波变成粒子，而是把波的局域传播转译为可以严格研究的几何结构：
波的整体振荡内部，本来就包含具有位置、尺度和方向的局域结构。
这便是“由波见形”。
三、邓煜：粒子如何在统计极限中生成“场”
如果说王虹研究的是波怎样显现出局域的几何形态，那么邓煜研究的则是另一方向的生成过程：大量局域粒子或波模怎样形成连续的统计规律。
1. 从牛顿粒子到Boltzmann方程
考虑一箱稀薄气体。在微观层次，每个气体分子都有自己的位置和速度。若把分子理想化为弹性硬球，那么分子在两次碰撞之间做匀速直线运动，碰撞时满足动量和动能守恒。
原则上，只要知道所有分子的初始位置与速度，就可以按照牛顿力学计算它们以后的运动。
但真实气体中粒子数巨大。我们不可能也没有必要追踪每一个粒子。于是，物理学改用分布函数
描述在时刻 t 、位置 x 附近、速度约为 v 的粒子密度。
这时，研究对象已经从离散粒子转化为定义在位置—速度空间中的连续函数。其演化由Boltzmann方程描述：
左端表示粒子的自由输运，右端碰撞算子 Q ( f , f ) 描述不同速度粒子之间的碰撞如何改变速度分布。
物理学家很早便相信，Boltzmann方程应当能够从大量硬球的牛顿运动中导出。然而，这一推导极其困难。
困难不在于一次碰撞。一次弹性碰撞的规律很简单。困难在于，随着时间延长，一个粒子可能先后与许多粒子碰撞，而这些粒子此前又各自经历过其他碰撞。碰撞会不断产生新的统计关联，使“粒子彼此近似独立”这一动理学假设越来越难以控制。
1975年，Lanford给出了从硬球动力学推导Boltzmann方程的里程碑式结果，但该结果只能覆盖很短的时间。
邓煜、Zaher Hani和马霄建立了新的长时间方法。他们追踪完整的碰撞历史，以累积量和复杂的碰撞历史图组织粒子关联，并证明这些高阶关联在适当极限下仍可受到控制。由此，他们把从硬球动力学到Boltzmann方程的严格推导扩展到任意长的时间区间——只要相应Boltzmann方程的正则解仍然存在 [4] 。
这条推导完成了从离散个体到连续分布的跃迁：
大量硬球 → 碰撞关联 → 概率分布 → Boltzmann方程
粒子并没有消失，但当观察尺度改变以后，描述系统最有效的对象不再是每个粒子的轨迹，而是连续的位置—速度分布函数；在进一步的流体极限下，才出现密度场、速度场和温度场等宏观量。
粒子很多以后，个体退到背景，分布成为主体。
这便是“由粒见场”。
2. 从Boltzmann方程到流体方程
Boltzmann方程仍然保留速度变量 v，属于介观或动理学层次的描述。在更宏观的尺度上，我们关心的是密度、平均速度和温度：
这些宏观量是分布函数 f ( t , x , v ) 关于速度的不同矩。
当粒子的平均自由程相对于宏观尺度足够小时，分布函数逐渐接近局域Maxwell分布。进一步取适当极限，便可能得到Euler方程、Navier—Stokes方程以及热传导方程。
邓煜、Hani和马霄随后从硬球粒子系统出发，以Boltzmann方程为中间层次，严格推导出可压缩Euler方程和不可压缩Navier—Stokes—Fourier方程。他们把这一结果表述为对希尔伯特第六问题中一条核心纲领的解决：从牛顿力学出发，经由Boltzmann动理学，推导流体力学基本方程 [5] 。
其理论层次可以写为：
【微观：粒子轨迹】 → 【介观：分布函数】 → 【宏观：流体场】
或者更具体地写成：
Newton → Boltzmann → Euler / Navier–Stokes
这不是把三个已有方程排列在一起，而是严格说明：在相应假设和极限条件下，后一层规律如何由前一层描述产生。
3. 确定性怎样生成统计性和不可逆性
这里还有一个更深的物理问题。硬球碰撞服从牛顿力学，原则上具有时间反演对称性。如果把所有粒子的速度同时反向，系统能够沿原来的轨迹倒退。
但Boltzmann方程描述的气体却表现出熵增加和趋向平衡的不可逆过程。于是便出现一个经典问题：
时间可逆的微观运动，怎样生成时间不可逆的宏观规律？
邓煜等人的工作并不是用一句“粒子太多，所以只能用概率”把问题略过，而是从数学上追踪：在粒子数趋于无穷、粒径趋于零的Boltzmann—Grad极限下，哪些关联被保留，哪些关联变得可以忽略，以及统计独立性如何在适当意义下传播。
数学在此不是帮助物理学家算出某个数值，而是在回答不同理论层次之间能否逻辑相容。
统计规律不是对微观规律的背叛，而是特定尺度极限下生成的另一种有效秩序。
四、邓煜的另一面：波也能形成动理学
如果邓煜只研究硬球粒子，那么我们或许可以简单地把王虹放在“波”的一侧，把邓煜放在“粒子”的一侧。但邓煜的工作本身就打破了这种简单划分。
在研究硬球体系之前，他与Zaher Hani已经完成了从非线性薛定谔方程到波动动理学方程的严格推导。
非线性薛定谔方程描述一个连续的复振幅场。以立方非线性薛定谔方程为例：
从场的角度看， u ( t , x ) 是连续波。但在傅里叶空间中，这个波场可以分解为许多不同波矢 k 对应的傅里叶模。非线性使这些模之间发生相互作用和共振。若系统尺度很大、非线性很弱，并观察足够长的动理学时间，研究重点便不再是每一个模的精确相位，而是不同波数附近的平均能量如何输运。
于是出现波作用量谱或波能谱 n ( t , k )，其演化由波动动理学方程描述。
这条路线是：
非线性色散波 → 傅里叶模与共振 → 波能量的统计分布 → 波动动理学方程
邓煜与Hani证明，在特定尺度关系下，非线性薛定谔方程在动理学时间尺度上的统计行为确实由波动动理学方程描述。他们明确指出，这一结果是Lanford粒子体系定理的“波动对应物”：粒子体系从微观碰撞生成Boltzmann方程，波体系则从微观模耦合生成波动动理学方程 [6] 。
由此形成一组非常清晰的平行结构：
微观粒子动力学 → 粒子动理学方程
微观波动动力学 → 波动动理学方程
更有意味的是，邓煜等人后来处理硬球体系长时间极限的总体策略，明确借鉴并发展了他们此前在波动动理学研究中形成的方法框架。他们关于硬球系统的论文也说明，其总体策略遵循此前为波湍流长期动理学极限建立的范式 [4] 。
这说明波与粒子的对称不只是外部观察者添加的修辞。至少在动理学理论中，二者确实共享某些深层数学结构：都包含大量微观自由度；都存在弱而频繁的相互作用；都要处理长时间累积；都需要控制高阶关联；都在适当极限中生成统计方程。
数学方法可以从波系统迁移到粒子系统，正因为两者在更抽象的层次上拥有共同结构。
五、波粒互成与波粒二象性
将王虹和邓煜的工作放在一起，很容易让人想到量子力学中的波粒二象性。这种联系有启发性，但必须说明其边界。
1. 它们不是在直接研究量子测量
量子力学中的波粒二象性，讨论的是同一量子对象在不同实验安排中表现出的干涉性、衍射性和局域探测特征。它与量子态、测量、概率幅和不可对易观测量有关。
王虹主要研究调和分析、几何测度论和Kakeya问题；邓煜主要研究经典粒子体系、非线性色散波和动理学极限。
因此，不能说他们“证明了波粒二象性”，也不能把Kakeya细管直接称为粒子轨迹，更不能把Boltzmann分布称为量子场。
2. 它们共享波粒二象性的认识论结构
尽管研究对象不同，两人的工作确实表现出与波粒二象性相似的结构。
① 波可以显现出局域性。连续波场可以分解为具有有限位置范围、频率范围和传播方向的波包。王虹研究的细管几何，正是这种波包局域传播的数学表达。
② 粒子群可以形成连续的有效描述。离散粒子在适当统计极限中由连续分布函数加以刻画，进一步在流体极限中产生密度场、速度场和温度场。邓煜等人的工作为这种跨尺度过渡提供了严格结果。
③ 同一个系统可以有多种有效表象。一个波场既可以在实空间中描述，也可以在频率空间中描述；一个气体系统既可以用粒子轨迹描述，也可以用分布函数或流体场描述。
④ 表象的选择依赖尺度和问题。研究一次碰撞时，粒子轨迹最合适；研究气体流动时，密度和速度场更合适。研究全局振荡时，可以使用波函数；研究局域传播时，则需要波包和细管。
由此，“波粒互成”并不是说波最终变成粒子、粒子最终变成波，而是说，在适当的数学表象和尺度极限下，连续与离散、局域与整体之间可以建立可被严格分析的联系：
波与粒、连续与离散，不一定是彼此排斥的本体分类；
它们往往是自然在不同尺度、不同表象和不同观测问题下显现出的有效结构。
王虹揭示了整体波动中隐藏的局域几何，邓煜则揭示了局域个体中生成的整体统计规律。于是形成一个近乎镜像的关系：
王虹：整体波动 → 局域波包 → 细管几何
邓煜：局域粒子 → 统计分布 → 连续场
王虹研究波场中如何显出局域的“粒”式结构，邓煜研究粒子群如何形成连续场描述。
六、数学，不只是物理的工具
大学数学常被称作物理学的工具：微积分描述变化，微分方程描述演化，傅里叶分析研究波，概率论处理统计体系。这个说法有道理，但“工具”二字还不够。工具的含义通常是，问题已经摆在那里，数学只负责把答案算出来；而在现代数学物理里，数学承担的任务要重得多。
1. 数学决定什么能成为研究对象
傅里叶变换把一个波重新表述成频率与方向的组合，波包分解再把频率落成空间里的一根根细管；分布函数也远不止是对大量粒子轨迹取平均，它另建了一个状态空间，让“某个速度附近有多少粒子”这件事，本身成为可以随时间演化的物理量。数学表象一旦改变，能够提出的问题也随之改变。
2. 数学在不同尺度之间建立合法的联系
从 Newton 方程写到 Boltzmann，再写到 Navier-Stokes，形式上都不难；真正难的，是坐实中间那两个箭头：
Newton → Boltzmann → Navier-Stokes
每一个箭头背后，都藏着一串必须交代清楚的问题：极限参数如何选取，时间尺度能推多久，初始条件要满足哪些要求，哪些高阶关联可以忽略，误差怎样随粒子数或尺度参数趋于零，极限方程的解能存在多久，以及近似又在什么条件下开始失效。数学证明的价值，就在于不给这些箭头留下任何含混。
3. 简单的方程，背后并不简单
Boltzmann 方程一行就写得完，非线性薛定谔方程也只有几项；可“写得出方程”和“说得清它为什么成立”，完全是两码事。一个方程表面上只用到本科低年级的数学，它的严格来源却可能要动用概率论、调和分析、组合学、几何测度论、泛函分析和多尺度方法。王虹与邓煜的真正难处，始终在证明这一端：让这些方程确实能从更底层的规律里被推导出来。
基本方程常常是简单的，说清楚自然为何服从它们却极其困难。
七、从两位得主重新理解大学物理
两位得主的工作，也给大学物理教学一点启发：与其一上来就求解方程，不如先换一个讲物理的起点。
1. 方程不是知识的起点，而是建模的结果
我们习惯先把方程写上黑板，再教学生代入求解；久而久之，学生容易以为自然规律天生就以方程的形式存在，学物理就是记住方程、算出答案。但邓煜的工作提醒我们，一个宏观方程，往往是一长串建模与取极限之后的终点。所以在给出方程时，不妨多交代一句：它描述的是哪个尺度，保留了什么，舍去了什么，又在什么条件下才成立。
2. 物理学习的核心是表象转换
王虹的研究表明，同一个波动结构，可以在不同表象里呈现出完全不同的形态：
实空间中的波 ↔ 频率空间中的谱 ↔ 相空间中的波包 ↔ 几何空间中的细管
邓煜的研究则展示了另一种转换：
粒子轨迹 ↔ 概率分布 ↔ 宏观场
会换图像的人，才算真懂物理。学生在学习质点、连续介质、波、场和量子态时，不该把它们当成互不相干的章节，而应逐渐形成一种更统一的意识：
模型不是对象本身，而是我们在特定尺度上选择的一种可计算表象。
3. 连续与离散不是非此即彼
传统课程往往先讲质点，再讲刚体和流体，随后才讲振动、波和场，学生容易觉得质点是离散的、波和场是连续的，分属两个世界。可是波能分解为局域波包，粒子群能生成连续介质，连续场能量子化为离散激发，离散结构在长波极限里又回到连续场。“波粒互成”强调的，正是这些模型之间的生成关系：
粒 → 群 → 场
场 → 模 → 波包
顺着这样一条主线来组织课程，比把知识拆成一节一节孤立的内容，更接近现代物理的内部结构。
4. AI 时代，更需要数学与物理之间的判断力
人工智能越来越擅长符号运算、数值求解、文献检索和公式调用。算一个积分、解一个标准方程，机器已经很在行。可是该选粒子模型还是场模型，在实空间还是频率空间里研究，哪些近似有物理依据，尺度一变原方程还灵不灵，一个数学上成立的解是否真对应某种物理状态，这些判断仍然要靠人。物理教育真正要培养的，是尺度意识、模型意识、表象意识，以及对适用边界的敏感。
计算终将交给机器，而选定坐标系，永远是教师与学生的事。
八、联想给出方向，科学建立联系
1. 波与粒之间，有一条真实的通道
波粒二象性常被简单讲成：“光有时像波，有时像粒子。”这种表达容易让人以为，波和粒子是两种彼此竞争的答案，我们只是在不同实验中轮流选择一种。王虹与邓煜的工作提供了另一种理解的可能：波和粒子不只是两张互相替换的标签。
王虹与 Zahl 证明，所有方向可以极度聚集，却不能让三维 Kakeya 集丢掉自己的三维；邓煜和合作者则证明，大量粒子或波模那样复杂的微观动力学，在适当极限下确实能由动理学方程有效地描述。一个盯着空间里的重叠，一个盯着时间里的累积；一个从连续波动中提取局域几何，一个从离散个体中生成连续的场。这也是“互成”比“兼有”更有分量的地方：“兼有”只说一个对象同时具备两种性质，“互成”却要追问，波的结构怎样生成粒的表象，粒的集体怎样生成场的规律，而这些箭头，究竟在什么条件下才成立。
2. 从乐水乐山到波粒互成：一次跨层次的联想
有意思的是，这种跨层次的联想，中国人很早就熟悉。《论语》讲“知者乐水，仁者乐山；知者动，仁者静”，山水本是自然之物，仁与知却属于人心；孔子看见的，是山与水在结构上的一处相似：水周流善变，山安定厚重，一动一静。《周易》讲“近取诸身，远取诸物”，“以类万物之情”，说的也是同一种本事：从身边之物出发，在看似相隔很远的现象之间，找出可以彼此映照的形态与关系。
“波粒互成”正是这样一次联想。波、粒子和场当然不是山、水和人，也不能靠字面上的相似就画上等号；但王虹与邓煜的工作，让我们有机会在这些不同对象之间，看见一组值得追问的共同结构：连续的波能显出局域而定向的形，大量的粒能汇成连续的场。
3. 趣谈的科学性：联想之后，还要追问
这样的联想本身还算不上科学结论，却常常是科学问题的开始，而这恰恰是“趣谈”值得认真对待的地方。麦克斯韦当年正是借助物理图像之间的相似，把热传导、流体运动、力线这些图景引入电磁学的研究，才一步步逼近电磁场方程；但他也反复提醒，类比能帮思想往前走，替代不了对真实机制的检验。庞加莱在回顾自己的数学发现时也说过，真正富有成果的创造，往往来自原本相距很远的观念之间突然搭起的联系；可这种突如其来的组合，仍要经过有意识的计算与证明，才能站得住。可见趣谈未必就是科学的浅层。好的趣谈，恰恰保留了科学发现发生之前的那一刻：一个词的巧合、一幅图像、两个远隔领域之间若隐若现的相似，都可能促使人提出新的问题。它代替不了推导，却能让人看见那个值得推导的箭头。
真正的科学训练，就是在联想之后继续追问下去：这份相似究竟发生在哪一层？依赖哪些条件？能延伸多远？又在哪里开始失效？王虹与邓煜之所以重要，并不只因为他们让我们能作出“由波见形、由粒见场”的生动联想，更因为他们用严密的数学，把这些跨尺度的联系能否成立、在什么条件下成立，一一考察，并且建立了起来。
Fields 本只是一个人的姓，并不是“场们”。但这个偶然的文字游戏，把我们领进了一场真实的思想练习：从不同的“场们”出发，去看波与粒子、数学与物理、局域与整体之间，可能共享的那组结构。
联想让不同的世界彼此照见，科学则负责判断：它们是否真由同一束光照亮。
参考文献
[1] International Mathematical Union. Fields Medals 2026: citations for Hong Wang and Yu Deng [EB/OL]. (2026-07-23). https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2026.
[2] Wang H, Zahl J. Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions [J/OL]. arXiv:2502.17655, 2025. https://arxiv.org/abs/2502.17655.
[3] Guth L. The Kakeya conjecture, after Wang and Zahl [J/OL]. arXiv:2604.03416, 2026. https://arxiv.org/abs/2604.03416.
[4] Deng Y, Hani Z, Ma X. Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics [J/OL]. arXiv:2408.07818, 2024. https://arxiv.org/abs/2408.07818.
[5] Deng Y, Hani Z, Ma X. Hilbert's sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann's kinetic theory [J/OL]. arXiv:2503.01800, 2025. https://arxiv.org/abs/2503.01800.
[6] Deng Y, Hani Z. Full derivation of the wave kinetic equation [J]. Inventiones Mathematicae, 2023, 233: 543-724. https://doi.org/10.1007/s00222-023-01189-2.
王春艳
潍坊学院
王春艳 ，女，1972年9月26日生于潍坊，无党派人士，北京师范大学物理学专业，中国海洋大学海洋信息探测与处理博士，北京师范大学博士后，现为潍坊学院物理与电子信息学院教授，潍院学者，潍坊市专业技术拔尖人才，硕士生导师，加拿大环境部、渥太华大学访问学者。主要从事光学工程，光谱技术，油气检测，环境检测等方面的科研教学工作。主持国家自然科学基金及山东省自然科学基金等科研项目5项，发表高水平Sci论文30余篇，国家发明专利10多项，主持校级教研项目6项以及校级一流课程的建设，2021年获得山东省首届高校教师教学创新大赛三等奖，并长期带领团队以丰富的科研教学经验指导学生进行创新创业实践。
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