曲率

这一猜想试图从曲率条件刻画非紧凯勒流形的整体复结构，是复几何中最重要的公开问题之一。

这一定理把曲率条件与全纯映射的几何性质紧密联系起来，后来成为研究模空间几何的重要工具，在Teichmuller空间、Calabi-Yau模空间以及Hodge理论中的周期映射等问题中得到广泛应用，对复几何与代数几何的发展产生了深远影响。

这个定理属于整体黎曼几何和几何拓扑，它用曲率和基本群之间的关系说明——局部曲率条件能够强烈限制整体拓扑。

他们还证明，对正数量曲率流形做余维数至少为3的拓扑手术，得到的流形仍然具有正数量曲率度量。

作为推论，他们证明了三维环面上的任何非负数量曲率度量都必定是平坦的，从而解决了Kazdan和Warner提出的一个重要问题。

那么该流形上不存在非平坦的非负数量曲率度量。

20世纪70年代，Kazdan和Warner系统研究了流形上哪些函数能够作为数量曲率，由此引发了一系列关于正数量曲率度量存在性的基本问题。

正质量猜想与具有正数量曲率度量的流形密切相关。

他们证明了，若一个紧致流形容许一个紧致、连通、非交换李群的光滑作用，那么这个流形就容许一个正数量曲率的度量。

根据Preissmann定理，环面以及两个紧致流形的直积，都不可能承载负曲率度量。

丘成桐在石溪大学期间最重要的工作之一，是与Lawson合作的关于群作用与数量曲率的关系。