猜想

沿着这条道路，2025年JonathanMaynard等人在亚凸界研究中取得重要进展(进一步优化了L函数的上界)，他们通过改进筛法技术，证明了非平凡零点位于临界线上的比例达到了99.999%，而这一结果突破了此前由Mordell、Selberg等逐步推进的99.99%的记录，数值计算让人类距离黎曼猜想的距离只剩下了最后0.001%。

总之，无论沿着哪一条路前进，数学界普遍认为黎曼猜想的证明需要多领域深度交叉后带来的创新观念，能从更广义的角度上重构黎曼假设的数学框架，以期找到与其他数学分支的统一或联系，无论采用纯数学方法(如代数几何的方法)还是纯物理方法(找到严格的对应黎曼零点的哈密顿算符或调和厄密算符)，都需要新的思路或思想能将这两条看似巧合的道路联系或统一在一起。

无论如何对黎曼猜想的持续研究极大地推进了解析数论、泛函分析与数学物理等领域的发展。

”他们的机器将他们一直带到了Minkowski（以及Hausdorff）维度三，从而证明了三维挂谷猜想。

四维挂谷猜想仍然未解，并且在其上也坐落着四维猜想之塔。

在挂谷猜想之上，坐落着调和分析中由三个丰碑式猜想组成的一座塔。

如果挂谷猜想被证明是错的——如果王和Zahl发现了一个反例——那么整座塔都会分崩离析。

2014年，麻省理工学院数学家LarryGuth证明任何挂谷猜想的反例必然是“颗粒状”的。

2022年，在现代版挂谷猜想构想出来五十年后，王和Zahl往前迈出了一大步。

三维挂谷猜想声称，这一集合的Minkowski维度一定是三。

如果他们可以对一直到三的每个区间都证明这一点，也就证明了挂谷猜想。

他们也就证明了超扩散猜想。

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“百年一遇”的证明让挂谷猜想尘埃落定看似简单的挂谷猜想已经折磨数学家50年了。

1引言这个科学问题就是鼎鼎大名的黎曼猜想(Riemannconjecture)，介绍黎曼猜想和试图证明黎曼猜想的文章浩如烟海，所以本文只是关于这个猜想的科普介绍，主要的目的是能让那些对此好奇的人站在数学的汪洋大海面前能够一睹它的轮廓。

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自19世纪中叶以来“黎曼猜想”一直是数学池塘中的那条巨型的怪物鲶鱼。

但延拓积分(8)在s=1处，级数ζ(1)做为调和级数(5)依然发散，但可以证明此时黎曼函数ζ(x)在整个复平面上是一个亚纯函数，只存在s=1处唯一一个一阶极点，极点的留数为1：Res(s=1)=1，并且满足如下的渐进关系：

截至目前，这一性质已经通过计算机验证了前10万亿(1013)个非平凡零点，这些解都毫不例外地满足黎曼猜想的断言。

显然公式(15)将素数分布的振荡误差归因于ζ(s)函数零点的贡献，这就是黎曼猜想和素数分布之间的内在联系。

然而若能严格证明该猜想对所有非平凡零点均成立，那将有望解决围绕质数分布的诸多未解之谜，例如质数间隔的随机性、素数定理的精确误差估计，即可以把素数定理所给出结果的误差优化到：总之，目前已经有超过一千条数学命题都以黎曼猜想的成立为前提。

由此可见利用ξ(s)函数黎曼猜想(所有ξ(s)函数非平凡零点实部为1/2)可等价表述为：ξ(s)函数的所有零点均为实数。

黎曼猜想的核心论断是：方程ζ(s)=0的所有非平凡零点(non-trivialzeros)都位于复平面上的一条特定垂直线即实部Re(s)=1/2的临界线上。

然而让人吃惊的是，1949年阿特勒·塞尔伯格(AtleSelberg)与保罗·爱多士(PaulErdős)利用初等数论工具，仅仅借助组合数学和渐进分析就重新证明了素数定理，该证明虽然非常复杂但却颠覆了素数定理的证明必须依赖复分析的传统认知，体现了初等方法的基础性和深刻性。

同样，美国克雷数学研究所网站对该问题有一个简单的介绍：素数定理(primenumbertheorem,PNT)描述了素数(simplenumber，也翻译为质数)在自然数中的平均分布规律，而黎曼猜想则揭示了素数分布相对于该平均规律的偏差细节。