椭圆曲线

简单地来讲，椭圆曲线是由下列二元三次方程所定义的平面曲线：

题记：具有y2=x3+ax+b这种形式的椭圆曲线方程是一个强大的数学工具。

如果费马方程有整数解，那么这个解就满足一条椭圆曲线方程即费雷(Frey)曲线，而1990年里贝特(Ribet)证明该曲线不能是模曲线；

为了对椭圆曲线有一个直观的认识，图2中展示了不同a和b参数(图中取整数)下的椭圆曲线图像(椭圆函数的实数解就是曲线上连续的点，在其他数域K上椭圆函数可能是一些离散的点，在复数域C上还是一个环面)。

图2椭圆曲线图像和奇异的椭圆曲线

根据图2中椭圆曲线的图像，我们可以对椭圆曲线所表达的解给一个集合上的表述：所谓实数域上光滑椭圆曲线是指以下的集合：

显然从图5中可以看到在有限数域上的椭圆曲线群E(F17)是由有限的点组成的，其群的元素个数(群阶)为15。

显然从图5中可以看到在有限数域上的椭圆曲线群是由有限的点组成的，其群的元素个数(群阶)为15。

当然如果p取更大的素数，则椭圆曲线群的元素个数一般会更多(因为数域Fp的范围也会越来越大，当然其元素个数最多不会超过2p+1,平均大概就是Np∽p+1,见图6左图)，比如p=37的群E(F37)，其元素就变成了45个，计算结果发现此时群可以分解为两个循环群的直积：C3×C15。

当然如果p取更大的素数，则椭圆曲线群的元素个数一般会更多(因为数域Fp的范围也会越来越大，当然其元素个数最多不会超过2p+1,平均大概就是p+1)，比如p=37的群E(F37)，其元素就变成了45个，计算结果发现此时群可以分解为两个循环群的直积：C3╳C15。

椭圆曲线的群结构预示着群中的元素可以通过群元的加法来不断产生，见下图4(a)所示，用P点和Q点的加可以产生-R，用-R的逆产生R，然后用P和-R的交点产生S和-S等等，这些不断产生的元素都属于包含P和Q的同一个子群。

对于L(E,s)函数可以这样计算，对于椭圆曲线可以不断取不整除判别式Δ的素数p，然后在模约化群E(Fp)上计算群元素的个数Np，然后不断带入如下的L(E,s)函数中(不存在Δ被p整除的项):

对于椭圆曲线这类二元三次方程，其有理数解的个数目前并没有最后结论，但其中有以下的重要结果：对于有理数域Q上的光滑椭圆曲线E(Q)，其元素构成一个群，而且该群是有限生成的阿贝尔群(finitelygeneratedAbeliangroup)，这个结论被称为莫德尔-韦尔定理(Mordell-WeilTheorem)。

利用集合概念，第120个科学问题可以重新表述为：对于椭圆曲线E(R)集合中有理数元素(或者对于E(Q)集合的元素)的个数是有限的还是无限的？

显然E(R)的集合是一个由实数对(x,y)为元素组成的集合，也就是图2所示的椭圆曲线上的所有点连成的线，集合的元素自然是无穷多个。

显然从群的角度看图3(d)中P和Q就是互逆的元素(Q=-P)，也就是椭圆曲线上关于x轴对称的点(x,y)和(x,-y)的两个元素是互逆的，这也来源于椭圆曲线y2项的对称性；

而且这个证明中用到了一个二元(x,y)三次方程所定义的平面曲线：椭圆曲线，它在证明费马大定理中起到了关键的作用(怀尔斯证明费马大定理论文的题目就是：ModularEllipticCurvesandFermat'sLastTheorem)，而其中的椭圆曲线(EllipticCurves)就是本科学问题所要重点讨论的对象。

然而椭圆曲线上还有3阶、4阶、5阶等等很多不同阶的点(mP=0,m<∞为有限自然数)，而这些点和群加法一样也可以用来产生E(R)群中的元素，而它们构成不同阶的有限循环子群。

然而椭圆曲线上还有3阶、4阶、5阶等等很多不同阶的点(mP,m为有限自然数)，而这些点和群加法一样也可以用来产生E(R)群中的元素。

图2椭圆曲线图像和奇异的椭圆曲线

是否存在一个简单的方法来证明椭圆曲线是否有无限个有理解？