有向k-单形

对于单纯复形X上不同的k维单形{σi(k),i=0,1,···}，我们把某个“由不同有向k-单形的整系数线性组合而构成的元素”称为该单纯复形空间的一个k-链(k-chain)，而所有k-链组成的集合则构成一个加法群或线性空间，称为k-链群，记为C(k)(X)：

我们根据边界作用在有向k-单形上的性质，可以发现这样的边界映射作用在k-链群上有一个重要性质：∂k−1∂kC(k)(X)=0，也就是说任何链的边界的边界为零。