哥德尔

哥德尔是将皮亚诺公理作为经验公理添加到一阶谓词演算而得到的形式理论。

所以，哥德尔是现代可计算性理论的先驱者之一。

[关于文章题目的说明：为了准确地介绍哥德尔的重要工作“关于PM及相关系统的形式不可判定命题(OnformallyundecidablepropositionsofPrincipiaMathematicaandrelatedsystems)”的内容和恰当地（亦即，非夸大地）说明其重要意义，笔者曾经在科学网博客和本公众号上已经发表过几篇科普文章，但是总觉得采用的题目不是很贴切。

严格地说，“哥德尔不完全性定理”这样的称呼是多少有些问题的，也是造成对哥德尔的重要工作有众多误解误用的原因之一。

所谓“不完全性定理”，是其他人在哥德尔的重要工作发表之后对其两个定理的称呼。

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下[1-3]。

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下[1-8]：

“1931年，哥德尔证明的不完全性定理（后来以他的名字命名为哥德尔定理[由此可见原作者不知道哥德尔完全性定理]）证明两点：第一，一致性和完全性是不可得兼的，如果它是一致的，则它是不完全的，系统内至少包含一个真而不可证的命题；

由于这一发现，哥德尔证明了形式公理系统的不完全性定理。

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下[1-6]：

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下[1-5]：

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下[1-5]：命题IX(“第一不完全性定理”)：在命题VI中言及的所有形式系统中，都存在有受限谓词演算的不可判定问题（亦即，受限谓词演算的逻辑式，其普遍有效性以及其反例的存在性都不可证）。

王浩先生在“数理逻辑通俗讲话”中将“哥德尔第二不完全性定理”通俗地表述为：“没有一个古典数学形式系统能够证明它自己的协调性。

”将“哥德尔第二不完全性定理”表述为：“断定通过‘理论内部可形式化’的方法来证明F的一致性的不可能性。

”将哥德尔第二不完全性定理表述为：“如果这样的形式系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证。

“哥德尔第一不完全性定理令φ是一致的和R-可判定的，并假设φ具有算术表达性，则存在一个Sar语句A，使得即非φ|-A，又非φ|-notA。

如同笔者在前面文章中已经说明过的，上面原作者对哥德尔第一不完全性定理的解释是歪曲。

哥德尔根本没有“引入了一种通用语言来编码任意可形式化的过程”，而是独创性地想到了就用一阶皮亚诺算术形式系统的形式语言来表达关于该形式系统的性质以及系统内的形式证明。

哥德尔本人陈述：“P本质上是通过把PM的逻辑（数作为个体，后继关系作为未定义的基本概念）叠加在Peano公理之上得到的系统(PisessentiallythesystemobtainedbysuperimposingonthePeanoaxiomsthelogicofPM(numbersasindividuals,relationofsuccessorasundefinedbasicconcept).

但是，我们将会看到，“哥德尔不完全性定理”有其清晰地严谨地定义了的概念基础和严格地限定了的有效范围（哥德尔本人的研究及写作风格是极其精准清晰的），它并非是一个可以用来指导有关逻辑学和数学（甚至一部分学者们常说的哲学、计算机科学与人工智能！

笔者首先想澄清的一件事情是，似乎没有历史记录明白地显示哥德尔本人自称过其工作为“不完全性定理”或“第一/第二不完全性定理”（由此也显示出哥德尔一贯的严谨作风）；

哥德尔的工作被误解误用的一般性原因之二：定理前提条件被忽视

哥德尔的工作被误解误用的一般性原因之一：翻译及解说的陈述缺乏严谨

哥德尔的工作被误解误用的一般性原因之三：定理结论被“歪曲”

哥德尔的工作被误解误用的一般性原因之四：数理逻辑概念不清

从上述历史背景可知，哥德尔的工作之原始目的是要证明PM系统的一致性，并非其完全性或不完全性。

关于哥德尔工作的原始陈述，参阅笔者的“哥德尔不完全性定理的原始陈述”[17]应该足够了。

哥德尔的工作之内容

上述陈述是原作者对哥德尔工作的过度“私家”解释（歪曲）。

哥德尔的工作的确显示了数理逻辑领域内形式化方法论有穷方法限制的局限性，但是其有效性仅限于数理逻辑的部分领域，根本不超出数理逻辑到整个逻辑学以及数学。

)”[9]，对哥德尔工作的介绍就是极不严谨的，甚至可以说是错误的。

哥德尔的工作是基于当时的经典数理逻辑基础的，其两个定理也都设定有严格的前提条件。

所以，对哥德尔的工作之解说和评论的陈述缺乏严谨，应该是大众对其误解误用的首要一般性原因。

无论专业学者还是非专业人士，如果仅仅是基于有缺陷的翻译和不严谨的解说来理解哥德尔的工作的话，那么，对哥德尔的工作产生误解就毫不奇怪了。

王浩先生的“数理逻辑通俗讲话(PopularLecturesonMathematicalLogic)”[11]大概是对哥德尔的工作给予介绍和解说的最早的中文文献了，因此在国内的影响也比较广泛（笔者本人就不知多少次被朋友、同事、学生们问及此书中的相关内容）。

笔者猜测，除了数学基础论专业领域的数理逻辑学家，其它专业领域的数理逻辑学家以及所有非数理逻辑专业的各类学者人士，都不会直接研读哥德尔的原创论文去理解其工作，而是首先从哥德尔原创论文的解说或评论文章去理解哥德尔的工作。

哥德尔的工作在1931年作为正式论文发表之前，曾于1930年以概要方式发表[2,3]，哥德尔本人也在其论文正式发表过之后的1932年对其工作做过简介[2,3]如下：

如果说到对哥德尔的工作最权威的解释简介，当然是哥德尔本人在原创论文发表之前发表的概要及原创论文发表之后的简介了[2,3]。

但是，由于一些概念名词，比如，“自然数”、“算数”、“数论”、“命题”、“系统/理论”、“形式化”、“证明”等等，在许多领域或者人类日常社会生活中也会用到，如果人们不先去认真学习讲究数理逻辑的基本概念或哥德尔的原创论文，仅凭在日常生活和工作中对这些词汇的认识理解就去理解哥德尔的工作，那么误解就是必然的，而且有时候会误解的离谱。

哥德尔工作的20世纪30年代初期，经典数理逻辑才被弗雷格和罗素完全形式化，其实质蕴涵悖论问题也才被指摘，刘易斯的模态逻辑也才被提出，故而，在当时，所谓“形式化”就是基于经典数理逻辑的。

哥德尔的工作在数理逻辑领域也是非常专业的，所有使用到的概念或是在经典数理逻辑里面有清晰明白的定义，或是哥德尔本人在论文中将其定义的清晰明白。

所以，对数理逻辑专业概念的认知不清，是对哥德尔工作的误解误用中最普遍的原因。

笔者观察了众多实例之后认为，绝大多数非数理逻辑专业的人士对哥德尔工作的误解，或多或少都存在概念不清的问题。

上面就是笔者对哥德尔的工作之意义的恰如其分的[自认，微笑]说明，笔者将在后续文章中说明，为什么世间那些超出上述笔者说明的“重大意义”啦、“伟大意义”啦等等，都是基于对哥德尔工作的误解误用而产生的逻辑谬误或者言过其实，并无真正的学术价值不说，还误人子弟、害人非浅。

人们经常大肆宣扬不完全性定理的影响和重要性：例如，它“给数学思想带来了一场革命”，它“不仅颠覆了数学，而且颠覆了整个科学界”，并且，在一种模糊的热情高涨之中，哥德尔的工作“不仅彻底改变了数学，而且彻底改变了哲学、语言学、计算机科学、甚至宇宙学。

其次，从哥德尔的工作所产生的影响来说，其间接意义在于：

哥德尔的工作之直接意义

哥德尔的工作之间接意义

哥德尔的工作促成了希尔伯特修改了其计划中对有穷方法的限定。

最后，借此机会再次介绍一下我国老一辈数理逻辑学家莫绍揆先生对哥德尔的工作之评价：“哥德尔尽管成就巨大，但他的思想和见解都是通常的思想和见解，在思想上他并没有独创出什么有特殊内容的“哥德尔思想”。

首先，从哥德尔的工作的原始动机和目的[4]来说，其直接意义在于：

首先，从哥德尔的工作的原始动机和目的[4]来说，其直接意义在于：（1）在希尔伯特设定的有穷方法论限制之下，“PM及相关系统”（亦即，“在命题VI中言及的所有形式系统”）中存在有形式不可判定命题并且构造出这样的形式不可判定命题的具体方法是给定的；

（1）在哥德尔工作和发表其结果的1930年代初期，“计算/可计算/可判定”的概念还没有被清晰地认识和定义。

（2）从本质上来说，哥德尔的工作及其结论实际上揭示的是对于一个允许“实无穷”的形式数学系统/理论，有穷方法/形式化方法在能力上的局限性。

（2）对于满足定理所要求的前提条件的对象形式系统，一个自指地表达该系统自身之一致性这个元性质的命题（元定理），在该系统内形式不可证，亦即，不可能是该系统的目标定理。

哥德尔的工作之背景

首先，让我们来介绍一下哥德尔的工作之历史背景。

实例六：“哥德尔定理、人工智能与大问题”

“哥德尔定理对语言学、逻辑学和哲学的影响是深远的”，应该是原作者从哪里抄来的、解释说明不了的一句套话（类似的套话，文献中和网上到处都是）。

“哥德尔定理对语言学、逻辑学和哲学的影响是深远的，对人工智能和认知科学的影响还需要我们深入思考。

”因为哥德尔早年工作成果是著名的“完全性定理”和“不完全性定理”，所以，数理逻辑学家或者多少懂点数理逻辑的学者不会毫无交代地冒头第一句就来个“哥德尔定理”。

从“哥德尔宣告了形式化方法和形式系统的局限性”推导出“计算机和人工智能都是使用形式语言和形式推理的系统，当然也就无法逃避哥德尔定理的约束”是对“哥德尔不完全性定理”的一种典型的误解误用，大都是没有接受过计算机科学专业训练、不知道什么是计算机系统的人士所为。

更不能认可原作者所述“但其实更基础、更重要的是哥德尔定理”。

第一句，“哥德尔定理。

第一，哥德尔宣告了形式化方法和形式系统的局限性，计算机和人工智能都是使用形式语言和形式推理的系统，当然也就无法逃避哥德尔定理的约束。

“哥德尔定理。

在计算机科学界和人工智能学界，人们都知道摩尔定理、图灵定理，但其实更基础、更重要的是哥德尔定理。

瑞典数理逻辑学家及计算机科学家TorkelFranzén(1950-2006)在2005年出版了一本讨论“哥德尔不完全性定理”的使用和滥用的专著“哥德尔定理：关于其使用和滥用的不完整指南(Gödel'sTheorem:

“哥德尔定理在狭隘的逻辑数学世界之外获得了无与伦比的关注。

哥德尔定理是滥用知识的无穷无尽的源泉。

“人机交互中的哥德尔不完备现象表现为系统无法完全捕捉和处理复杂的语义、情境、个性化需求和创造性要求，这些都是人类思维和行为中的重要组成部分。

人机交互中的哥德尔不完备现象表现为系统无法完全捕捉和处理复杂的语义、情境、个性化需求和创造性要求，这些都是人类思维和行为中的重要组成部分。

1931年，奥地利逻辑学家哥德尔发现在一个充分大的形式系统（至少应该包括初等数论的形式系统）中，存在自我指称的公式。

如果最简洁地陈述，以“对象系统”来表达符合定理前提条件的形式系统，那么哥德尔两个定理的结论就是简单的两句话：“在对象系统中能够构造出形式不可判定命题”和“在对象系统中可以表达的系统自身一致性命题在该系统中形式不可证”。

看后文可以知道原作者是在说“不完全性定理”而原作者根本不知道哥德尔的“完全性定理”。

上面这段实例文章的概要，对哥德尔1931年论文的过度赞誉完全言过其实。

哥德尔1931年论文的工作是一个否定性结果，可以说它刺激和影响了数理逻辑某些领域（比如，证明论），但是不会奠定数理逻辑哪个领域的基础，更不会“奠定了理论计算机科学和人工智能(AI)理论的基础”。

试问：检查一下理论计算机科学和人工智能理论的世界著名教科书，看看有哪一本是把哥德尔1931年论文列为基础经典文献的？

哥德尔在1929年以证明一阶谓词逻辑完全性的工作[9]于1930年1月6日获得了维也纳大学博士学位之后，还需要用一篇论文来申请执教资格

哥德尔在1929年以证明一阶谓词逻辑完全性的工作[9]于1930年1月6日获得了维也纳大学博士学位之后

严格地说，“哥德尔不完全性定理”这样的称呼是多少有些问题的，也是造成对哥德尔的重要工作有众多误解误用的原因之一。

大众对“哥德尔不完全性定理”的理解不足从而造成误解误用，究其根本原因，应该是源于数理逻辑及数学基础论专业人士对哥德尔该项重要工作的介绍和说明存在着的模糊不清之处。

本系列文章试图先准确地解释“哥德尔不完全性定理”的历史背景及内容，恰当地（亦即，非夸大地）说明其可以应用的外延范围以及不可随意扩展到的范围，以及清晰地概括其重要意义，然后对一些关于“哥德尔不完全性定理”的经典介绍和解释指出其有可能造成误解的地方，并且列举一些对“哥德尔不完全性定理”的典型误解实例，指出这些实例到底误解在哪里、为什么是不对的，以期帮助非数理逻辑及数学基础论专业的读者能够准确地理解“哥德尔不完全性定理”的内涵及其应用范围。