科学网—终结猜想

速读：在拓扑方面，进行拓扑变换，发现非平庸拓扑结构对配分函数和物理性质的贡献；三维伊辛模型构建的四元数基是在S3球上复数四元数基。在博文《无招胜有招之灌顶篇》中介绍，在科学研究过程中同样存在类似于醍醐灌顶的过程。

终结猜想-32-拓扑相因子

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2024-12-10 08:23

| 个人分类: 追梦 | 系统分类: 科研笔记

对于一个久攻不克的世界性难题，从历史长河的角度看待，总是会有人来解决这个问题的。区别仅在于这个任务在什么时候落到谁的身上。当然，即使你幸运地找到这个适合的问题，你能不能解决这个问题仍然是一个问题。即使你幸运地解决了问题，能不能发表出来以及被同行广泛认可仍是个大问号！发表原创工作的难度不亚于做出工作的难度，参见我以前的博文《原创工作发表难之叶公好龙》、《原创工作发表难之慧眼识珠》、《原创工作发表难之断尾求生》等。科学研究的过程是沮丧与愉悦交织的过程，在探索真理的过程中愉悦多于沮丧，而在发表论文的过程中收获的大多是沮丧。由于原创的思想超越了时代，很难被同行理解和接受，通常面对的是保守势力的打压。这一切非常折磨人的心智和考验人的意志。孟子说：“ 天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。 ”一个人可以将他面对的问题看成上天的安排。当他动心起念想解决这个问题，他实际上就是承担了上天降下的责任。他就需要面对孟子所说的一切磨难以及心志的考验，甚至是折磨。人生如同马拉松，只有具有坚强的意志品格，才能克服前进道路上的一切艰难险阻，获得最后的成功。

本博文出场的重要人物是高斯、博内、陈省身：

约翰 × 卡尔 × 弗里德里希 × 高斯 (Carolus Fridericus Gauss, 1777 年 4 月 30 日 -1855 年 2 月 23 日 ) ，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉。发现了质数分布定理和最小二乘法。证明仅用尺规便可以构造出 17 边形。总结了复数的应用，严格证明了每一个 n 阶代数方程必有 n 个实数或者复数解。在物理学方面，高斯发明了磁强计。通过受电磁影响的罗盘指针，建立了世界上第一个电话电报系统。

博内 (Pierre Ossian Bonnet (1819-1892)) 为法国数学家。提出博内 - 迈尔斯定理、博内公式等。博内 - 迈尔斯定理是黎曼几何学中一个基本定理，博内证明了截面曲率恒等的特殊情况，迈尔斯 (Sumner Byron Myers) 随后证明了更一般的情况。博内公式的基本思想是通过曲面上的曲率来描述流体的运动状态，利用曲率计算流体在曲面上的速度、压力等参数，被广泛应用于航空航天、水利工程、地质学等领域。

陈省身（ 1911 年 10 月 28 日 -2004 年 12 月 3 日），出生于浙江嘉兴秀水县，二十世纪最伟大的几何学家之一。陈省身给出了高维高斯 - 博内公式的内蕴证明，被称为高斯 - 博内 - 陈公式。提出 Hermitian 流形的陈氏示性类，建立微分纤维丛理论，由此创立了整体微分几何，影响遍及数学的各个领域。建立了高维复流形上的值分布理论，包括博特 (Bott)- 陈定理，影响于代数数论。为广义的积分几何奠定基础，获得基本运动学公式。他引入的陈氏示性类与陈 - 西蒙斯微分式等概念和工具，已远超微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学和理论物理中的重要组成部分。

高斯 - 博内公式也叫高斯 - 博内定理，是微分几何的重要定理，描述高斯曲率与内角和之间的关系。高斯 - 博内公式：

其中第一项积分中 K 为高斯曲率， dA 是表面的面积单元， ds 是沿着 M 的边界的线单元，为欧拉示性数。对应于物理上的 Berry 相位。如果边界 ∂ M 是分段光滑的，我们将第二项积分解释为沿着边界的光滑部分的相应积分之和，加上光滑部分在边界转角之和。对高斯曲率的积分与欧拉示性数 c 相关。欧拉研究多面体的面、边和顶角的个数之间关系时获得了欧拉示性数。

其中 V 为多面体顶角的个数， E 为边的个数， F 为面的个数。所以，高斯 - 博内公式具有拓扑学的起源，可以看成是将欧拉关于多面体的结果推广到连续曲面的体系（二维流形）。

陈省身将二维流形的高斯 - 博内公式推广到高维度流形，发现了高斯 - 博内 - 陈定理：

其中 M 是一个 2m 维度黎曼流形， Ω 是由 Levi–Civita 联络表示的流形 M 的曲率，由

定义 Ω 的 Pfa ffi an ，是广义的欧拉示性数，也称为 m 类陈数。高斯 - 博内 - 陈公式建立了一个体系整体拓扑性质与曲面上局部曲率之间的关系。

从高斯 - 博内 - 陈公式我们可以得到：

是第一类陈数， Res 表示留数。这是重整化理论的基本方法之一，我们可以将非平庸纽结在高维度空间脱掉（平庸化过程）。通过与高斯 - 博内 - 陈公式相关的 Fuchs 关系式我们可以确定铁磁性三维伊辛模型中拓扑相因子的数值为 2 p ， p /2 和 p /2 ，。另外，从四元数波函数以及伊辛自旋的 Z 2 对称性的角度，我们也确认了拓扑相因子的数值分别为 2 p ， p /2 和 p /2 。从而严格地证明了大呆猜想二。

总结我们黎曼 - 希尔伯特问题工作的意义：再次证明大呆猜想的精确解的正确性。由于我们先后用克利福德代数方法和黎曼 - 希尔伯特问题的方法两种路径证明了大呆猜想，这充分表明三维伊辛模型可以作为多体相互作用体系、代数、拓扑、几何等学科交叉的平台。在代数方面，应用了克利福德代数、约当代数、四元数代数、李代数、黎曼 - 希尔伯特问题等构建数学基础；在拓扑方面，进行拓扑变换，发现非平庸拓扑结构对配分函数和物理性质的贡献；在几何方面，利用单项变换去除奇异性，在三球面 (S 3 ) 上表示几何关系，获得几何（拓扑）相因子等。运用时间平均、增加单位矩阵、进行单项变换、进行拓扑变换（洛伦兹变换）、自旋晶格与拓扑结构的映射等多种方法拓展维度，论证时间的自发产生。建立拓扑相因子与 A-B 效应、 Berry 相位、量子霍尔效应等物理现象的联系。见博文《物理世界的相因子 -1- 开篇》、《物理世界的相因子 -2- Aharonov-Bohm 效应》、《物理世界的相因子 -3- Berry 相效应》、《物理世界的相因子 -4- Josephson 效应》、《物理世界的相因子 -5- 量子霍尔效应》中对拓扑相因子的介绍。可以自豪地说，大呆发现一种新的拓扑相因子：在多体相互作用体系由于自旋长程纠缠导致的非平庸拓扑结构的平庸化过程中产生的拓扑相因子。可以看出，在这些物理体系中的拓扑相因子都有一个共同的根源，就是高斯 - 博内 - 陈公式中的陈数，也就是广义欧拉示性数。这再一次显示，数学家通常早于物理学家发现一个新的现象，几乎所有的物理效应的根源在数学。

在统计物理中，遍历假设认为，对一个物理量在特定微观态的时间演化过程做时间平均等价于在固定时间相同的物理量对微观状态的一些统计系综的平均。接受遍历假设意味着，使用统计系综是合理的，并且保证，与感兴趣的物理量的测量时间相比较，它的任意一个微观状态有效扫过系综所需要的时间足够地短。但是，在三维伊辛模型，在转移矩阵中存在内因子 W j 对遍历假设的合理性带来严峻的挑战。我们无法如在其他统计物理模型中那样忽视时间平均，因为我们需要处理由那些内因子 W j 导致的非对易问题（对应于全局性效应或者非平庸的拓扑效应）。作为时间平均所需要的时间必须是无限大，与测量感兴趣的物理量的时间可以比较，甚至远远长于它。所以，非常有必要对三维伊辛模型的配分函数进行四重积分，去满足时间平均的要求。通过这种途径，时间保留在量子统计物理的框架内以便获得一个平衡态系统的时间平均的物理量。这个框架提供了一个构建约当代数的四元数序列的机会，以致可以应用约当 - 冯 · 诺依曼 - 维格纳机制来处理三维伊辛模型。三维伊辛模型构建的四元数基是在 S 3 球上复数四元数基。为三维伊辛模型构建的四元数基自然地表示为 (3 + 1) 维时空的一个旋转。这个过程与一些已经非常成熟的理论紧密地联系在一起，例如：复数四元数、四元数量子力学、四元数与相对论。

在金庸武侠小说中有一个场景：《天龙八部》中少林小和尚虚竹机缘巧合之下破解了逍遥派聪辩先生苏星河的珍珑棋局。逍遥派掌门无崖子用灌顶的方法强行将修炼了七十余年的内力传给了虚竹。虚竹不费吹灰之力，一跃为武林高手。在博文《无招胜有招之灌顶篇》中介绍，在科学研究过程中同样存在类似于醍醐灌顶的过程。在攻克三维伊辛模型精确解的过程中，大呆有幸经历了牛津大学 Norman H. March 讲座教授实施的学术醍醐灌顶。实际上，通过与铃木理教授的合作研究，成功地用黎曼 - 希尔伯特问题的方法证明我的两个猜想，也同时完成了一次学术上的醍醐灌顶。为了这一次的醍醐灌顶，铃木理教授等了我四十余年（见博文《终结猜想 -27- 学科交叉》）。这两次醍醐灌顶尽管没有吸收到 March 教授、铃木理教授的全部功力，对我而言已经是非常幸运了。我豁然发现，自己已经脱胎换骨，研究领域得到极大的拓展，可以阅读数学文献，了解数学问题，甚至挑战数学难题。而且，在我眼里代数、拓扑、几何的边界线模糊，几乎没有什么边界，可以无障碍地通行，在不同的学科自由切换。

自从德国科学家楞次教授 1920 年提出自旋相互作用模型，他的学生伊辛 1905 年求解出一维伊辛模型，三维伊辛模型的精确解是物理学著名的百年难题，被称为物理学的“圣杯”。 1944 年昂萨格求解出二维伊辛模型精确解后，世界上许多著名科学家（包括美国学派、日本京都学派、前苏联学派以及十多个诺贝尔奖得主，如昂萨格、杨振宁、李政道、盖尔曼、威尔逊等）都想解决这个问题而没有成功。国际学术界曾经有过一句流行语：“不想求解三维伊辛模型的理论物理学家不是好的理论物理学家。”有些科学家将求解三维伊辛模型作为毕生的梦想。大呆 1991 年起念研究这个问题，开启了追梦之旅。 2007 年提出两个猜想并在此基础上导出精确解， 2019 年通过克利福德代数方法严格地证明了两个猜想， 2021 年用黎曼 - 希尔伯特问题方法证明了两个猜想，历时三十年解决了这个问题，终于功成梦圆。当然，探索真理的道路是无止境的。在后续的工作中，我又求解了二维横场伊辛模型、三维 Z 2 晶格规范理论等的精确解，建立了拓扑统计物理学的基本框架，研究了其与拓扑量子场论的关系。大呆将在后续博文中介绍相关的内容。

下回请见《终结猜想 -32- 量子相变》。