科学网—费马大定理-椭圆曲线和“群”
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2024-11-21 10:54
| 个人分类: 系列科普 | 系统分类: 科普集锦
介绍谷山 - 志村猜想 之前，还需要加两篇必要的基础知识，此篇介绍的是对 椭圆曲线如何定义“群”。
图 1 ：谷山 - 志村猜想
怀尔斯证明费马大定理有三大要素：椭圆曲线、模形式、 谷山 - 志村猜想 。谷山 - 志村猜想已经被证明了，因此现在一般称其为“ 模性定理 ”（ Modularity Theorem ）。 模性定理 讲的是椭圆曲线和模形式之间的关系，这种关系是建立在第四大要素：“伽罗瓦群表示”的基础上。伽罗瓦（ Galois ， 1811-1832 ）是一位早逝的法国天才数学家，他在证明一元五次方程没有根式解时创造了群的概念。因此，在介绍谷山 - 志村猜想之前，此篇我们首先回过头再看椭圆曲线 【 1 】 ，看看如何在它上面引入“群”。
在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构。如果这个二元运算是可交换的，则称之为“阿贝尔群”。
实数域的椭圆曲线比较直观，但事实上椭圆曲线可以被定义在任意域 K 上。例如在图 1 左边的椭圆曲线，被画成了一个甜甜圈的模样，这是因为椭圆曲线在复数定义域上本质上等同于环面，而画在实数域上的椭圆曲线（红色）只是环面的一个投影。这意味着，从拓扑上讲，椭圆曲线可以被看作一个甜甜圈形状的表面，即数域 K 上的亏格为 1 的曲线。其中曲线上的点可以映射到环面上的点，在这种映射下，椭圆曲线的群结构与环面的群结构一致。谷山 - 志村猜想与上面说法有类似之处，但映射的对象变了，谷山 - 志村猜想说的是 椭圆曲线 与“ 模形式 ”的一致。
1 ，有理数域上的椭圆曲线
为了方便研究群表示，首先在椭圆曲线（ y^2=x^3+Ax+B ）上的点与点之间定义加法运算。
图 2 ：椭圆曲线上的加法
图 2 显示了椭圆曲线加法的几何操作方法，左图表示一般的标准情况：假设 P1 和 P2 是曲线上的两个点，从这两点连线与椭圆曲线的交点，再向对称轴引垂线，对面的那个点就是相加之后的结果 P3 。图 2 中图，表示相同的点 (P1=P2) 时的加法：先作切线，再从交点作垂线。右图则是连线只有两个交点的特殊情形，结果记为 0 ，表示无穷远点。此外，基于相同点的加法，可以定义标量乘法运算。
由以上定义的加法运算，可构成一个加法群：所有椭圆曲线上的点，是这个群里的元素；点 P 的逆元是点 P 相对 x 坐标的对称点；单位元是无穷远点 0 ；加法满足结合律。以上几点满足群的定义，并且这个加法群是阿贝尔群（元素之间的运算次序可交换）。
因为目的是解决数论问题，所以我们最感兴趣的是 有理点 数域上的椭圆曲线， 有理点 的意思是： x 、 y ，及方程的系数 A 、 B 都是有理数，即可表示为两整数相除 m/n （ n 不为零）形式的数。
可以证明，在以上加法运算下，结果仍然是 有理点 ，因此有理数域 Q 上椭圆曲线 E(Q) 的群，与实数域的类似。以此为基础，群结构可扩展到椭圆曲线的其它域上。
2 ，有限域上的椭圆曲线
椭圆曲线 E(Q) 的有理数解的数目看起来是无穷多的，但关于这点，法国数学家庞加莱（ Poincaré ， 1854-1912 ）在 1901 年有一个猜想， 1922 年被莫德尔（ Mordell ， 1888-1972 ）证明了。这个后来被称为莫德尔 - 韦伊的定理说：“ 椭圆曲线的有理数解，可以由一个有限的阿贝尔群生成 ”。该定理成为丢番图几何和阿贝尔群的一个基础定理。因此， E(Q) 实际上是有限生成的阿贝尔群。换句话说，存在有限多个点，使得 Q ∈ E(Q) 都可以写成如下线性组合：
Q = a1P1+ a2P2+...+anPn 。
得到有限群的一个常用方法是对椭圆曲线做 模 p （ mod p ） 约化 ，这也是数论中一种重要的技巧。通过 模 p 约化 ，可以把整数域 Z 的问题约化到有限域 Fp 。
例如，对椭圆曲线： y^2=4x^3-53568x-4321728 ，作 mod 5 约化。考虑点（ 4, 1 ），它不在原来的椭圆曲线上，但是满足约化后的方程。
图 3 ：有限域上的椭圆曲线
图 3 的右图给了一个模 p=17 的约化例子 【 2 】 。约化后的椭圆曲线定义在有限域 Fp （ F 17 ）上，这个有限集合 Fp 的个数 r 称为椭圆曲线的秩。
在有限域 Fp 上的椭圆曲线与原来的椭圆曲线并无直接关系。实际上，只是有限个点的（封闭）集合，并非原来那种连续“曲线”。因此，这个有限群上的加法定义也需要做一些适当的修改。其中的群元素与整数的乘法（如图 3 右图所示的 2*G 、 3*G 等）也需修正。因为离散点的“切线”已经失去了意义。对此，本文不详细说明了，读者可阅读参考资料 【 3 】 。
有关秩与椭圆曲线的有理数解之关系，是重要的研究课题，与 BSD （ Birch and Swinnerton-Dyer ）猜想有关。该猜想属于世界七大数学难题，被克莱数学研究所列为千禧年大奖难题之一，至今未解。此外，这个问题也和至今未解的 同余数问题 有关，此是另一话题，在此不表。
3 ，复数格点上的椭圆曲线
复数上的椭圆曲线可以看作是一个复环面，它是通过取复平面并用格（复平面的离散加法子群）“修正”而获得的。
图 4 ：复数域的椭圆曲线
当将椭圆曲线视为圆环时， 基本区域 是复平面上的平行四边形，它表示圆环上的所有不同点，图 4 。椭圆曲线上的点通常由魏尔斯特拉斯 ℘ 椭圆函数参数化，这是一个与格相关的复解析函数。椭圆曲线等同于魏尔斯特拉斯形式（ Weierstrass form ）。
（下一篇继续）
参考资料：
【 1 】 Wikipedir-Elliptic curve ： https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve
【 2 】 https://codeahoy.com/learn/practicalcryptography/asymmetric-key-ciphers/elliptic-curve-cryptography-ecc/
【 3 】 https://andrea.corbellini.name/2015/05/23/elliptic-curve-cryptography-finite-fields-and-discrete-logarithms/
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