科学网—窃无涯者

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2026-4-11 10:01

| 个人分类: 集合论 | 系统分类: 科研笔记

窃无涯者

在1874年的一篇论文中，Georg Cantor证明存在不同大小的无穷大，从而颠覆了数学。新近问世的一批信件藏品表明这同时也是一次剽窃行为。

Joseph Howlett 撰文

左 芬 翻译

【译注：Robert Kanigel所著的Ramanujan传记以及同名电影“The Man Who Knew Infinity”有一个优雅的中文译名“知无涯者”。这里我们借鉴一下，把本文标题“The Man Who Stole Infinity”译做“窃无涯者”。原文2026年2月25日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】

当 Demian Goos 去年3月12日跟着Karin Richter进入她的办公室时，他首先注意到的是一座半身像。它安放在房间角落一个很高的基座上，呈现着一个秃顶的老年绅士，带着坚韧的面容。Goos丝毫看不出他已经痴迷了一年多的那个焦虑而孤独的男人的任何迹象。

不过，这正是历史视角中的Georg Cantor。一个才智超群的巨人：坚定，固执，不顾同辈们纷纷反对而决心开启一场数学革命。

就在这里，德国哈勒大学，Cantor在150年前发起了他的革命。在这里，1874年，他发表了4000年数学史上最重要的文章之一。那篇文章明确了无穷大的概念，而这一概念一直被视为数学中的恶性肿瘤，必须不惜代价地避免。它迫使数学家去质问他们一直遵循的一些假定，并从根本上动摇了数学。它还催生了一个全新的研究领域，并最终使得整个学科予以重建。

如今，Goos，这个35岁的数学家及新闻记者，到哈勒——离他在美因茨的家五小时的火车——来检查Cantor遗产中的一些信件。他看过其中一封信的扫描版，也相当清楚其它的都写了些什么。不过他想要亲自看到它们。

Richter ——她跟Cantor一样，也在这里度过了整个生涯，先是作为数学研究者，接着在退休后，又担任了数学史的讲师——示意Goos就座。她从书桌上零散的书籍和文献堆里拿起了一个薄薄的蓝色活页夹。里面是数十个塑料保护袋，每个袋子里装着一封陈旧的手写信。

Goos 开始翻阅，就像考古学家进入一个埋藏已久的古墓那样欣喜地凝视着它们。接着他翻到了一个特定的页面，停住了。他竭力屏住呼吸。

并不是字体有什么问题。在研究Cantor这么久后，他已经习惯了这种古怪的，几乎难以辨认的哥特式字体，所谓 库伦特体 ，德国人在大约1900年之前一直使用。

签名也没什么问题。他知道德国数学家Richard Dedekind 在Cantor理解无穷大以及巩固数学基础的探险中扮演了关键角色，并且两人还互通了大量信件。

非比寻常的是日期：1873年11月30日。

他此前从未见过这封信。没人见过。人们以为它不在了，在二战的骚乱中毁坏了，或者被Cantor本人毁掉了。

这封信有着重新评定Cantor功绩的威力。这封信最终证明了，Cantor 1874年那篇著名的文章，也就是后来重塑整个数学领域的那篇文章，也是一次剽窃。

心灵交汇

Cantor 1845 年出生于俄国圣彼得堡。在他11岁时，父亲病了，所以全家搬到德国来避开俄罗斯严寒的冬天。Cantor在那儿度过了他的一生，最终不再留有丝毫的口音。不过在这个寄养的国度里，他从未感到家庭般的舒适。

随着Cantor 父亲病情加剧，他把所有希望都寄托在了六个儿女中的这个长子身上。在Cantor的坚信礼上，父亲给这个15岁大的孩子写了一封信，告诫他许多前途无量的天才都被那些抵制其想法的人们打败了——只有一种坚不可摧的宗教信仰能让他避免成为又一个“所谓毁掉的天才”。为了像“科学的地平线上一颗闪耀的新星”那样发挥自己的潜力，他就得在诽谤者面前不屈不挠。

Cantor 终其一生都携带着父亲写的这封信。他内在化了其中理智反抗的英雄视角，并很快找到了发挥自己才干之处：数学。他是这样说的，数学领域里“有一个未知的，秘密的声音在呼唤着他”。18岁时他父亲过世了，他用获得的遗产在数学重镇之一柏林大学入了学。

在那儿，一场冲突即将爆发。

Georg Cantor 不断寻求在数学中留下印记。然而到了1890年代，他的野心让他陷入了深深的失落当中。

争论在于无穷大。数学家在几千年前就发明了这一抽象名词，用来处理这样的问题：对于你能说出的任何数字，你总能找到一个更大的。可是无穷大伴随着自身的问题。古希腊哲学家Zeno用它炮制出了各种悖论。当无穷大现身时，大小和加法这样直截了当的概念似乎失效了。

无穷大还带来了宗教上的挑战。基督教体系宣称 上帝 必然比他的任何创造物更大——他是真正唯一的无穷大，比任何数字都大。如果日常数学家可以控制这一神秘莫测的量，这会是对 上帝 的冒犯，也就挑战了 教会 的权威。

数千年来，数学家规避了这些风险，认同无穷大只是一个有用的花招，而非一个可行的数学实体。正如数学巨人Carl Friedrich Gauss在1831年的一封信中所说，无穷大不过是一种“口头说法”——一种修辞手法。

可是只过了几十年，无穷大就变得更难以忽视了。

数学家们开始重审最基本的概念，希望把它们变得更加严格。他们开始意识到，哪怕他们对数字本质的理解也摇摇欲坠。

在此之前，他们只考虑在求解代数方程时得到的数字：整数，分数，平方根。现在他们中的一些人想要探索这些不同的类别全都是如何相互关联的，以及除此之外是否还有其它类别有待发现。

Richard Dedekind 花了数十年试图理解数学中最基本的对象。他最负盛名的论文之一是这样命题的：“数字为何？数字应为何？”

在这些探索者中，有一位文静的德国数学家，名叫Richard Dedekind。1858年，他找到了一种办法来严格地定义实数——出现在数轴上的任何数字。不过他并没有公开他的发现。作为一个缓慢而有条理的思考者，他倾向于与其他人讨论自己的结果，直到确定自己是对的。

而这时，1870年，Cantor并不知晓Dedekind的工作。他已经完成了研究生论文，开始审视关于某些方程行为的实际问题。他还没有对数字本质这类哲学问题发生兴趣，但他的工作引导着他提出了自己对实数的定义。

1872 年初，Dedekind与Cantor独立地发表了各自的成果。

他们做的事情都很激进：重新定义了数轴。

在他们的文章之前，数学家认定，尽管数轴看起来可能像是一个连续的对象，但如果你把镜头推进得足够近，最终会发现间隙。

拿数轴在0和1之间的一段来说。它包含无穷多个分数：对于任何两个分数，你总可以推近镜头，在它们之间找到另一个。可是无论你推进得多近，总有一些数，像 ，你永远够不到。这中间是有间隙的——这一无穷序列是间断的。

然而，在他们1872年的论文中，Cantor和Dedekind找到了一种办法来构建一条完备的数轴。无论你在它的哪一段上把镜头推进得多近，它始终保持为由连贯着的无穷多个数字构成的不间断区间。

突然之间，数学家一直畏惧的无穷大这一怪兽没法再归到数轴上某些不可及的部分里去了。它隐藏在数轴的每一个间隔里。

那个夏天，Cantor和Dedekind俩人都来到了瑞士风景优美的湖畔乡村盖尔绍度假。在那里，俩人第一次相遇，然后一起漫步了很久，讨论他们的想法。

瑞士村庄盖尔绍1890年代的照片。就在这里，Cantor和Dedekind偶遇，并很快成为了朋友。

在任何旁人看来，在湖畔漫步的这两个男人都有些格格不入。Cantor 27岁，高个子，宽肩膀，很张扬。他陶醉于同辈们的注意，但在这一切之下，他对旁人如何看待他感到深深的焦虑。这让他快节奏工作，努力快速而频繁地发表成果。而Dedekind，他比Cantor大13岁，但矮不少，并且保守得多。他完全没有Cantor那种急于发表的想法。事实上，他一生都只发表了相对较少的成果。

不过他们一见如故。在后来写的信件中，俩人都一再地回忆起在湖畔讨论数学那美妙的一天。他们都把彼此视作了伴侣，和朋友。

但这不会持续下去。

追寻故事

从他记事起，Demian Goos就非常重视规则。2008年，在他17岁时，他和家人从自己长大的德国搬到阿根廷，他母亲的祖国。在那儿，Goos决定执裁足球。“我喜欢和朋友踢足球，”他说——不过比自己的喜欢更要紧的是，“我总是为体育运动中的不公正而恼怒。当我观看一场比赛而他们判罚出错时，我就想出点力把它纠正过来。”

这给了他机会把信仰变成行动。在接下来的15年里——在奥萨里奥国立大学读本科、研究生、做博士后和数学讲师期间——他为一个地区足球锦标赛执裁了专业比赛。他回忆起，有一次，人群中有个粉丝向他挥舞大刀，暗中威胁。不过当这个粉丝的队伍在后续的比赛中犯规时，Goos并没有退缩。他只是深吸了一口气，然后掏出了红牌。

“裁判是一种很塑造人的经历，”他说，“当人们恐吓我的时候，我没有退缩。”

Demian Goos ，一名德阿混血的数学家与新闻工作者，总觉得在阿根廷才最自在。在这里，他喝马黛，源自南非的一种花草茶。

尽管Goos也对数学研究乐在其中，他对定理背后的故事更感兴趣。他把业余时间用来阅读数学思想的历史，并在大学咖啡馆里给同行们生动地讲述他听说的故事，以致他们把那里称作他的“办公室”。作为博士后，他有时候会把学生带到野外去，通过形意舞来诠释一些数学概念，比如优化算法或者混沌系统。据他说，许多学生都很喜爱，但一些教授警告他不要采用这种离经叛道的方法。“他们可能以为可以吓到我，”Goos说道，“他们没听过那个大刀的故事。”

2020 年，还在博士后期间，Goos病了，不得不频繁地返回德国治疗。两年后，他回归全职。等做完博士后并且健康有所好转，他觉得是时候离开学术，投身于对故事讲述的热爱了。于是，2023年初，他接受了柏林自由大学一个科学报道研究员的职位，并聚焦于制作播客。他想要讲述数学史上最扣人心弦的故事。

并且他早就想好了从哪开始。

“我本人是个热情奔放的家伙，所以我会关注有史以来最激动人心的故事，”他说——这就是无穷大如何成为实在，引发集合论的诞生，进而为所有现代数学提供全新基础的故事。“它将我们对数学的理解推向了极限。”Goos说道，“你必须告别数学直觉，对你在这里会遇到的所有诡计都保持开放和宽容。”

Goos 在制作一期关于数学和科学史的播客。正是在这期播客上的工作引导他发现了关于Cantor和Dedekind之间真实情况的全新证据。

他在求学时就知道Cantor是集合论的唯一创始人——而这一切都始于他在1874年发表的一份证明。在那份证明中，Cantor证实存在不同大小的无穷大，终结了无穷大不过是一种数学诡计的观念。

Goos 开始研制关于Cantor发现的一期播客。然而他很快发现真实的故事比他被告知的要远为复杂。

“我最初的方案是讲述所有人讲过的故事。这是一个动人的故事，”他说，“但也是一个伪造的故事。它并非真实发生的。”

特洛伊木马

真实的故事是，Cantor并不是一个孤独的天才。他有一个同伴——至少在一段时间内。

据说，每当Cantor遇到志趣相投的数学家，他都会热切地向他们示好。他会在黎明时分就出现在一个合作者的住所，兴奋地讨论他获得的一些新想法，有时候甚至等待数小时直到对方醒来。Dedekind的情况也如此。在他们1872年在盖尔绍的邂逅之后，Cantor会利用各种机会向这位年长的数学家征求意见。

1873 年11月，Cantor开启了一场终将永远改变人类认识进程的交谈。“请允许我向你提个问题，”他在给Dedekind的一封匆忙写就的信中说道，“我对它有某种理论上的兴趣，不过我自己没法回答；或许你能。”

Cantor 为父亲灌输给他的狂热动力找到了输出口：数轴的无穷本质。“他有一种非常强的使命感，”西班牙塞维利亚大学数学史与哲学家 José Ferreirós 说道，“他确信引入实在的无穷大将不仅变革数学，还会变革科学整体。”在Cantor看来，这种无穷大并不违背 上帝 的霸权。它仅仅意味着， 上帝 并非遥远而不可知的，他无处不在，存在于万事万物之间。

“ 我时常愉快地回想起在盖尔绍和贝肯里德那美妙的一天，正是在那天我有幸与你相识。 ”

他开始把实数当成一个单独的、无穷的对象来研究，追问没人想过要问的问题。在数列1,2,3…中用三个点示意的无穷大和数轴的神秘连续统中内蕴的无穷大之间有何区别？换句话说，实数是否比整数更多？

表面上看，这个问题有些不理性。说这些无穷大集合有不同的大小，到底意味着什么呢？

Cantor 想要弄清楚。

他询问Dedekind，两个数字集合是否能建立“一一对应”——把每个实数跟它自己独有的整数配对。他写道，对于一个不同的集合，他设法做到了这一点：他已经证明每个有理数（可以写成分数的数）都可以指派一个独特的整数，并且不会有任何整数剩余下来。也就是说，尽管看起来有理数比整数多得多，这两个集合其实是同等大小的。因此后来数学家会把二者都叫做“可数的”。

可是Cantor没能弄清楚如何以同样的方式将整数与实数进行比较。Dedekind很快回复说他也不会——不过他已经证明出了代数数（可以通过求解代数问题得到的数）是可数的。“我本来没打算把这些都写下来的，”Dedekind在给Cantor的信件结尾处写道，“只是考虑到其中某个想法或许对你有帮助。”

从这开始，数学齐鸣延续了。受Dedekind进展的激发，Cantor把接下来的日子投身于残留的问题——实数。他最终能否证明，不同于代数数，它们是比整数更大的无穷大呢？

1873 年12月7日，他写信告诉Dedekind说他觉得自己终于成功了：“ 不过要是我在欺骗自己，我应该找不到比你更宽容的评判员了。”他给出了自己的证明。不过证明有些冗长，且晦涩。Dedekind在回信中给出了一种简化Cantor证明的方法，在不损失任何严格性或者精度的前提下，建立了一套更加清晰的论证。与此同时，Cantor在收到Dedekind回信之前也告知了他一种精简证明的类似想法，不过还没有像Dedekind那样把所有细节都弄清楚。

Cantor 思索了一下他手头已有的结果：两个集合，都是无穷大的，但一个莫名其妙地比另一个更大。其影响是革命性的。他开始想象不仅仅一个无穷大，而是一整套层级的无穷大。并且如果无穷大可以这样具体地比较，那么它们必然是真实的，绝非修辞手法。

他意识到，他的证明有可能从根本上撼动数学世界。可是，这样必然会激怒一些举足轻重的人物。

这些人物之一就是Leopold Kronecker，一位憎恶无穷大的数学理论家。他根本不相信数轴满布角落和裂缝。据数学家Ferdinand von Lindemann称，在他证明 不是代数的——你永远没法提出一个代数问题，使得 是其答案——之后，Kronecker曾告诉他这一工作是无用的，因为这种“超越”数就不存在。

在Leopold Kronecker看来，无穷大在数学中是没有容身之处的。当Cantor挑战这一信念时，Kronecker开始毁坏他的声誉，并阻止他发表。

Kronecker 还是数学王国的一个重要的守门人。他在世界知名期刊之一 Crelle杂志 的编委里。并且他在利用自己巨大的影响力来推行反动议程上从不犹豫。往往，他将决定哪些结果会快速地传达到其他数学家——或者永远不会。

在跟导师Karl Weierstrass 讨论过自己的工作后，Cantor想要把这些成果发表在 Crelle 上。他觉得，在那里他就能把无穷大带到主流世界。他将向全世界揭示 上帝 的意向。他将成为数学地平线上一颗闪耀的新星。

Cantor 的使命感，他内心那“神秘的声音”，开始高涨。

Cantor 和Kronecker有过很好的关系。可是几年前，Dedekind在一项重要的成果上打败了Kronecker，所以大家都知道Kronecker不喜欢Dedekind。如果Cantor提交的论文是与Kronecker的宿敌共同署名的——并且论文还公然地宣称多种大小的无穷大存在——那么它可能永远发表不了。

于是他做了两个决定。

首先是构建一匹数学的特洛伊木马。

Weierstrass 对代数数可数这一证明相当兴奋。（他后来利用这一结果证明了他自己的一个定理。）因此Cantor选择了一个误导性的标题，其中只提到了代数数。

“ 让我问你一个问题。我对它有某种理论上的兴趣，但我自己没法回答；或许你能，并且会善意地写信告诉我。详情如下。 ”

可是他把那一证明——Dedekind的证明——看作是诱饵，一个可以用来撬开无穷大的禁门的楔子。在写论文时，Cantor把关于代数数的这一证明放在了开头。在它后面，Cantor把他自己关于实数不可数的证明加上了——当然，是Dedekind简化后的版本。Cantor对这第二部分的真实含义轻描淡写。“他精心地选择了一种措辞方式，让Kronecker和所有憎恶无穷大的那些人听起来都不觉得可疑。”Goos说道。

Cantor 的第二个决定是把完整的著作权都归属于他自己。他细心地抹去了他的合作者的贡献的任何痕迹，包括一些零星的、任何知情人都会识别出来的Dedekind对术语的使用。

按照典型的Cantor作风，他在一天内就把论文草就了，然后投到了 Crelle 。第二天，1873年圣诞节，他寄了一封信给Dedekind，告知是Weierstrass说服他去发表的。“你会看到，”他写道，“你的评论，对其我高度重视，以及你表述一些要点的方式给我带来了极大的帮助。”

叙述故事

Cantor 骗局的首个证据在20世纪早期由另一位伟大的德国数学家揭露。她就是Emmy Noether，Dedekind的助手。她时常诗意地夸大Dedekind的预见。“万事万物存乎Dedekind。”1930年，在把他的所有数学著作收录为一个四卷本予以发表时，她偶然发现了他保留的与Cantor的一些来往信件。她与法国哲学家Jean Cavaillès搭档把它们也收集起来并发表了。

著名数学家Emmy Noether协助收集了Cantor不当行为的首个证据。

这时Dedekind和Cantor都已经过世超过10年了。Noether和Cavaillès花了接下来的数年时间追踪Dedekind遗产中的信件。1933年，Adolf Hitler掌权后，Noether作为犹太人从德国逃到了美国，在那儿两年后死于癌症。不过Cavaillès在1937年完成了他们的计划。

书中呈现出来的通信往来有些奇怪。它开头有一连串的信件，从Cantor和Dedekind 1872年相识后不久开始。来自Dedekind遗产的信件只保留了他接收到的，缺失了他寄给Cantor的。接着通信在1874年1月突然中断了，接下来是长达数年的空白。当通信在1877年恢复时，Dedekind自己写给Cantor的信也出现了。显然Dedekind决定为他寄给这位数学家同伴的所有东西都留存副本。

其中还有一份似乎是Dedekind写给自己的笔记，在他看到Cantor 1874年在 Crelle 上发表的论文之后。在里面，他叙述了他是如何把论文中的第一个证明以及第二个证明的改良版寄给Cantor的——结果却在仅仅几个月后看到它们全都“近乎逐字逐句”地发表了，以Cantor一个人的名义。

Dedekind 从未公布这一声明，而Noether与Cavaillès也未对此加以评论。“我觉得在他们看来，不做评判而让信件自我表达是一个非常理性的决定。”塞维利亚历史学家Ferreirós说道，“这是当时的荣誉准则。”

也没有其他人提请对它的注意——至少没有在书面上。Cantor最早的传记作者们，也就是他的数学门徒们，只是极力赞美他的天才。

Goos 拿着Cantor与Dedekind信件的首次发行本。

几十年后，Ivor Grattan-Guinness等历史学家重审了Cantor-Dedekind信件。Grattan-Guinness竭力追踪Dedekind 1873年寄给Cantor的信件——它们或许能证实Cantor行为不当。这些信件据说在Cantor死后留在了他在哈勒大学的办公室，可是现在已经无从找寻了。Grattan-Guinness推断，极有可能，它们在二战期间或者在1945年美国和苏联军队占领哈勒后带来的破坏中遗失了。

缺少了这些信件，Grattan-Guinness和他的同辈们决定不去谴责Cantor道德不端。一些人认定，他的行为获得了Dedekind的许可；其他人则为他的行为开脱，因为是他开启了这场交流，并且想出了更为重要的第二个证明的首个版本。

不过Goos 2024年制作播客时听说这段历史后，感到极其愤怒。他只找到了一段文字，里面明确地说明了Cantor的不当行为。在1993年的一篇文章中，Ferreirós 谴责Cantor剽窃并冒名发表了Dedekind的工作。可是其他的Cantor传记作者立刻反驳了Ferreirós的说法，声称这是对实际情况的一种过分极端的解读。而且，少了Dedekind那封遗失的信，就没有认定罪行的实际证据——只有Dedekind那份笔记，在事后写的。谁能确信其中的断言就一定是真实的呢？

José Ferreirós ，塞维利亚大学数学史家与哲学家，首次书面谴责Cantor的剽窃行为。

这成为了数学史家们的一桩迷案，而Cantor 孤独天才的传奇仍在继续。

Goos 想要在他的播客中讲述真实的故事——并且证实它。他找到了一种办法去实现它。不过这是一个很冒险的尝试。

“他们总说这些信件在战后遗失了，”他说。这让他很烦恼。“毫无疑问有很多东西遗失了，但这并不意味其它的东西就不会留存下来。”

许多历史学家都搜寻过这些信件，但都失败了。Goos还刚开始他的研究。但有没有可能所有这些专家都错过了什么呢？

孤本

Cantor 在 Crelle 上的文章并没有造成很大的影响，因为数学家们大多错过了他在字里行间隐藏的内容。不过，他打响了第一枪，而这后来会演变成对数学现状的终身斗争。他已经发表了一份证明，在最重要的数学期刊上，证明无穷大会以不同的大小出现。它最终会迫使数学家们重新思考自己领域的基础——以对其中最基本的规则及其推论做出判定。

与此同时，Dedekind中止了对Cantor的回信。在将近三年时间里，他们完全没有通信来往。接着，出于完全不清楚的原因，Dedekind谨慎地重启了交流。不过这一次，他对寄出的每封信都保留了副本：一份保密记录。

俩人开始再次讨论起无穷大。Cantor计划跟进自己多种大小无穷大的工作，但他需要建议。他的信这时更恳切，而Dedekind的则更谨慎。不过这次通信很有成效，很快Cantor就向 Crelle 提交了一篇全新的，更大胆的文章——这次，没有伪装。

Kronecker 进行了反抗。他使用他在柏林圈子里的所有势力来尽可能推迟审稿过程。不过在几个月后，Weierstrass和其他人出面为Cantor进行了调解，使得文章最终刊出了。

“ 我本来没打算把这些都写下来的，不过我觉得其中某个想法可能会对你有用。如果不是这样的话，我道歉：对你的问题的紧急而全新的投入让我从自己的事情上逃离了几个小时，并且变得健谈了。 ”

再一次地，Dedekind写给Cantor的信里的想法未予声明就出现在了论文当中。再一次地，Dedekind切断了他们的通信。

Cantor 或许会对自己仅有的智力盟友之一的这次绝交感到遗憾。他一直在努力把哈勒的一潭数学死水变成由他的工作所诱发的领域——集合论——的震中。他实现这一点最好的赌注就是聘用Dedekind。1882年，他试图招募他，仿佛什么事情都没有发生过。Dedekind礼貌地回绝了。

随着Cantor持续就无穷大发表成果，Kronecker竭力让数学界反对他。他称Cantor为“青年的腐蚀者”与“叛徒”。当Cantor 1883年试图离开哈勒，申请更有声望的柏林大学的职位时，Kronecker——身为那儿的教授——阻止了对他的任命。其他数学家，包括Cantor的一些朋友，也开始劝阻他不要发表。

Cantor 独自承受了所有这些阻力。“他渴望被认可，”Goos说道，“但为人处世跟所有其他人都截然不同的这一特殊天性让大家都不太喜欢。”1884年，Cantor因一次严重的抑郁发作而入院就医。随着时间的推移，他变得越来越孤立了。“这成了一种固定模式，” Ferreirós 说道，“他跟同行们的关系大多以恶化告终。”

Cantor 在后期照片中常常显得自信而强大。然而在坚定的外表下，他孤独而忧虑。

最终，Cantor成为了他父亲提醒过他的反对派的受害者。当他被不断地拒绝学术发表，拒绝授予他认为应得的荣誉时，他的使命感变成了怨恨。他的抑郁复发了，并在之后的二十年里住院了很多次。1917年，他最终被收入一家疗养院，而他在那里不断地给妻子写信，求她让他回家。第二年他就死去了。

Cantor 被排挤到了边缘。不过逐渐地，他的思想开始引起新一代数学家的关注，而他们在Cantor的工作中看到了从底层开始重写整个数学体系的潜力。

幸运的发现

Goos 也希望重写一些东西。在他2024年的播客里，他报道了Cantor与Dedekind的冲突。不过由于没能找到任何新的证据，他发现很难扭转论战。他转向了其它项目。

不过，他始终没有放下这段故事。

他在业余时间里继续挖掘关于遗失信件的线索。“我真的觉得我把所有书都集全了，”他说。他追踪原始来源，并搜索了可以找到的大学档案库。“我说的可是在某篇文章的某一行提到过一次的一手线索。”他说。

就这样，在2024年夏天，他偶然发现了一份局部扫描件，看起来像是Dedekind写给Cantor的一封信。它是在一个网页上，名叫“Georg-Cantor-Vereinigung”——Georg Cantor协会。“这群人试图让Cantor的记录历久弥新。”Goos说。这封信写于1877年，远在冲突发生之后，因此Dedekind的副本已经在史料档案当中了。不过他寄给Cantor的原稿从来没有过任何记录。Goos试着联系了该机构的多个成员，但没收到回复。

“ 在过去几天里，我终于有时间更深入地探究我跟你提过的那个猜想；直到今天我才确信自己把它完成了；不过要是我在欺骗自己，我应该找不到比你更宽容的评判员了。 ”

几个月后，他重返了那个网页。不过这一次，他注意到在扫描件下面，网站还提到一位继承人在2009年捐赠了一批信件。他追踪了这个继承人可能是谁，并且在研究了许多家族树和其它文件后，终于找到了一位Angelika Vahlen博士——Cantor的曾孙女，而她正好生活在哈勒市。

当他打电话过去时，她说自己完全不懂数学（事实上，她是一位考古学家），不过她想把自己拥有的所有信件都提供给历史学家去研究。她把这些都交给了哈勒大学（如今的正式名称是马丁路德·哈勒维腾贝格大学），而它们最终给到了Cantor协会主席，一位名叫Karin Richter的数学教授。

Goos 追踪到了Richter。2025年3月抵达了她的办公室。打开了她递过来的一个薄薄的蓝色活页夹。

他期望着看到在Cantor协会网站上公布的那封后期信件。这就像他对其它原始来源的追寻一样——既可以核实已知情况，又能收集到一些新的看法。

可是这儿出现在他面前的是他已经苦苦求索了超过一年的那封信。他很确定。尽管Dedekind 严谨而华丽的字体比Cantor不规则的涂鸦反倒更难辨认，Goos能够看出页面上满是术语 algebraischen Zahlen ：“代数数”。并且在底部，毫无可疑地，有这样的结束语：“献上最热忱的问候，您忠实的 R. Dedekind——布伦瑞克市，1873年11月30日”。

Richter 真的知晓她拥有的是什么吗？他请求获得扫描件。Richter说她要考虑一下。

Dedekind 1873 年11月30日写给Cantor的信，曾消失了一个多世纪。其中，Dedekind给出了代数数集合与整数集同等大小的证明——这一结果之后被Cantor剽窃了。

在回家的火车上——他当天的第二趟五小时车程——Goos盘算着他面临的这一发现。他知道情况很微妙。他曾遭受过德国数学家们的蔑视，在他指出Cantor对Dedekind的背叛时。“德国人一般不会轻易表现出骄傲，”Goos说道，“但我们以Cantor为傲。”Richter可能算得上是Cantor的头号粉丝了，而她似乎不那么乐意分享扫描件。

当他在两天后拨通Richter的电话时，希望彻底落空了。电话已经不在服务中。“你怎么跟别人说这个呢？你看，我跟这位女士聊过了，她似乎不太乐意分享这些信件，于是我又给她打电话，可她的手机号竟然不存在了，”他说，“挺住，Demian，挺住！”他责备自己过分礼貌，没在Richter的办公室就掏出手机来拍下照片。

他花了接下来的一个月时间去联系在哈勒市认识的所有人，求他们设法联系到Richter。“我开始觉得自己就要疯了，”他说，“她这个人真的存在吗？”最终，Richter的一个同事告知了她下个讲座的时间和地点。他在4月再次做了10小时的往返旅程，而Richter解释说她换了手机运营商。她交给他一份扫描件，外加一份抄本。这仅仅是一封信，但正是至为关键的那封。

一个月后，又一次长途跋涉，而Richter 提供了另一封Dedekind的信，写于1873年夏天。Goos不清楚他是否还能承担更多次这样的旅行：“我并不富有，”他说。他决定，是时候让世界知晓他已经发现的情况了。

Goos 正在阅读那封遗失信件的扫描版。

真实功绩

如今，Cantor的声望远远超过Dedekind。

俩人都在数学基石方面做出了重大的贡献。不过Cantor的功劳通常被认定为无穷大的辩驳和集合论的发明，而集合论是所有现代数学的书写语言。他身为史上最伟大的数学家之一的名声早已被传记和通俗书籍不断强化了，并且他还是被数学界以外的人们所熟知的少数数学家之一。

Dedekind 呢？他没有英文传记。他的维基百科页面只有他那位昔日好友的四分之一长。在数学家内部——主要出于Noether的努力——他留下了一个不那么响亮的卓识家的名声。“对Dedekind了解得越多，我就越钦佩他，”圣母大学集合论家与哲学家Joel David Hamkins说道，“Cantor证明了所有这些伟大的定理，但Dedekind可能是更伟大的数学家。”

Cantor 1874 年论文背后的真实故事已经公之于众90年了。但它不是人们喜欢讲述的那类故事。“每个科学分支都需要一个英雄，” Ferreirós 说道，“化学有拉瓦锡，力学有牛顿，相对论有爱因斯坦。总是会有一个，仅仅一个，但那往往会是谎言。”

“ 你将看到，你的评论，对其我高度重视，以及你表述一些要点的方式给我带来了极大的帮助。 ”

从挑战这一谎言起，Goos就遭遇了阻力。当他分享那封遗失信件的发现时，数学家们质疑其重要性——尤其是在德国。他在让人们认识其重要性上遇到了麻烦。他们的反应再现了30年前历史学家们对Ferreirós文章的回应。

然而它确实重要。数学往往被视为与现实世界及其不完美保持了最安全距离的一门科学。它的真理是绝对的。它将美丽与优雅置于所有其它标准之上。真正要紧的是成果，是被探索的世界。所有其它内容，包括著作权与功劳，都是次要的。

但这一点掩饰了科学真理的探寻过程在运作方式上的实在性。“数学是一项集体性的事业，”，Ferreirós说道，“哪怕在集合论的情况下，你也不会有单个英雄发明了整个体系这种绝妙的例子。”

它也掩饰了数学是人在从事这一事实。将自我、观点以及个人缺陷与工作本身分离开来是不可能的。“很好，”Goos对那些不在意Cantor不当行为的数学家们说，“你写下一篇文章时，匿名好了。这样我们就能看出来它是不是真的为了科学。”当关系到他们自己的工作时，数学家们就非常在意功劳归属了。他们中许多人近乎百科书一般地记住了谁提出了哪个定理，以及谁获得了哪个奖项。

对Cantor行为的披露并不会削弱他的成就。他依然是证明实数比整数更多的第一人，而这最终开启了对无穷大的研究。“在我看来，确实第二个定理才重要，”Hamkins说道。而该定理的原始证明并非Dedekind的。

不过认可Dedekind在这一数学上最伟大发现之一中的角色，并指出Cantor未曾归功于他，仍然是重要的。最终，Cantor的做法只是把他从英雄降格为人——一幅更加真实的画像。“Cantor是一个不轻易接触其他人的人，”Richter说道，“这对于Cantor来说非常非常艰难。”

“他很年轻，很热忱，很狂热，” Ferreirós说道，“但他确实犯了一个很大的错误。”

最终，这才是更好的故事——因为它是真实的。

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