科学网—费马大定理
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2024-12-4 08:24
| 个人分类: 系列科普 | 系统分类: 科普集锦
怀尔斯证明了什么？人们都说怀尔斯证明了费马大定理，但是实际上，他证明的是 “模性定理”的一部分，就是我们在上篇中介绍的，原来叫“谷山 - 志村猜想”的那个。为什么证明了这个猜想就算证明了费马大定理呢？这是因为，有好几位数学家已经为通往费马大定理铺好了路……
1 ，儿时梦造就大师
今年的诺贝尔物理奖得主之一，是人工智能教父辛顿。据说他在少年时代就立志要弄懂“大脑是如何工作的？”，几经坎坷，他终于走到了正确的道路上并作出卓越的贡献。这样的事在科学史上屡见不鲜：爱因斯坦相对论的思想，也是源于他儿时的想象：如果自己骑在“光线”上旅行的话，对时间将有何种感受？
1922 年， 9 岁的图灵读到一本《儿童应知道的自然奇观》，书中有句话“人体也是一台机器”，令儿时的图灵震撼，影响深远！他决定要探究人与机器之关系，最后愿望终于实现。四十年之后的 1963 年，我们的主角， 10 岁的安德鲁·怀尔斯（ Andrew Wiles ， 1953- ）初识费马大定理！一天，他偶去图书馆，翻看叫《大问题》的一本书，在书中邂逅了它！不料从此后怀尔斯便与其结下不解之缘。令怀尔斯颇感奇怪的是，这个定理很容易陈述，十岁的他就能理解，但却从来没有人证明过！这让他着迷，激发他的好奇心和好胜心，并且，他似乎当年就知道自己永远不会放弃它，必须解决它！
怀尔斯出生于英国剑桥，父亲原来是牧师，后来成为牛津大学神学教授。
怀尔斯后来就读于剑桥大学国王学院。 1974 年，怀尔斯在牛津大学默顿学院获得数学学士学位。从 1975 年夏天，怀尔斯在约翰·科茨的指导下开始他的研究生阶段。他们一起用岩泽理论的方法研究椭圆曲线的复数乘法算法。他进一步与巴里·马祖尔合作研究了有理数上岩泽理论的主要猜想，不久之后，他将这个结果推广到全实数域。
1980 年，怀尔斯在剑桥大学克莱尔学院获得博士学位后，到新泽西州普林斯顿高等研究院任职，并于 1981 年成为普林斯顿大学数学教授。
怀尔斯的潜意识深处，总藏着费马猜想。但是，从 70 年代在剑桥大学开始，他就一直专门研究椭圆曲线，也取得不少成果，不过这看来与费马大定理没什么关系哦。
此时，两位日本数学家也已经提出了他们的猜想，并且，在美国的法国数学家韦伊（ Andr é Weil ， 1906-1998 ）的一篇论文将此猜想介绍到了西方，使得广为人知，韦伊还为猜想提供了概念性的证据，因此也被称为“谷山 - 志村 - 韦伊猜想”。该猜想企图将怀尔斯正在研究的椭圆曲线方程与模形式联系在一起。但没有人能证明这个猜想，即使被证明了，与费马大定理也没啥关系啊。
怀尔斯意识到自己的数论知识太有限了，也许要放弃这个儿时的梦想？历史的脚步很快就走到了 80 年代，怀尔斯 33 岁了。想不到这时候，数学界有几篇文章，引起了怀尔斯的注意，终于有人将费马的最后猜测，与他熟悉的椭圆曲线联系起来了！
2 ，弗雷曲线
格哈德·弗雷（ Gerhard Frey ， 1944- ）是德国数学家。他的研究领域是数论和丢番图几何，以其在数论方面的工作而闻名。他同时也研究椭圆曲线密码学，或许正因为如此，他第一个将费马猜想与椭圆曲线联系起来。
弗雷假设，如果费马方程有解，那么他就可以从费马方程的所谓解，构造出一个椭圆曲线。
弗雷几年前就研究过类似的曲线，现在他注意到该曲线具有不寻常的性质，可能不是“模的”！这条曲线后来被称为 弗雷曲线 【 1 】 。 1985 年，弗雷猜想这个费马大定理的反例将创造出一条非模的曲线，这样就在费马和谷山 - 志村猜想之间架起了一座桥梁。因此，弗雷提出谷山 - 志村猜想可能蕴含着费马大定理，这个想法引起了广泛的兴趣，也重新点燃怀尔斯儿时要“攻克费马最后猜想”的心灵之火。
怀尔斯当然暗地里兴奋不已，似乎费马大定理的证明有希望了：首先需要证明模定理，其次需要证明弗雷的直觉是正确的。
3 ，塞尔和黎贝
弗雷的研究虽然引起了一些关注，但距离费马大定理的证明还有十万八千里！因为上面说的都是猜想，这个猜想连着那个猜想，猜想都解决了，费马大定理才能解决。特别是那个谷山 - 志村的“模猜想“，当代的数学大师们都普遍认为这是无法证明的，太难了！至于弗雷的猜想，他只是给出了一种说法，说”这是可行的“，但没有给出完整的证明，弗雷并没有严格证明自己的猜想。
不过，不久之后，法国数学家让 - 皮埃尔·塞尔（ Jean-Pierre Serre ， 1926 年 - ）参与进来了 【 2 】 。他明确了弗雷所猜测的联系（图 1 中的 蓝色 箭头），又提出了一个 ε 猜想。并近乎完整的证明了：如果证明了谷山 - 志村猜想，又证明了 ε 猜想，那就意味着证明了费马大定理（图 1 中 棕色 虚线）。
让 - 皮埃尔·塞尔主要贡献的领域是拓扑学、代数几何与数论。他曾获颁许多数学奖项，包括 1954 年获得的菲尔兹奖。当时他年仅 28 岁，是至今最年轻的菲尔兹奖得主。他 2000 年获沃尔夫数学奖， 2003 年获阿贝尔奖，是阿贝尔奖的首个得主。他与格列戈里·马尔古利斯并列数学界“三大奖项”大满贯得主。
那好，现在所需证明的头绪清楚了： 费马大定理 = 谷山 - 志村猜想 + ε猜想 。那么，塞尔的ε猜想说些什么呢？它的意思是说，如果与椭圆曲线相关的伽罗瓦表示具有某些特性，那么该曲线不能是模形式的。这儿的“伽罗瓦表示”，以及“某些特性”是什么特性，涉及太多的复杂数学概念，我们就无法深究了。总而言之，塞尔已经确保扫清了其它所有的障碍，只剩下“ 模 ”和“ ε ”两个猜想了。
这时，又一位叫黎贝的数学高手登场了，他解决了 ε猜想 【 3 】 （黎贝定理），为最后证明费马大定理铺平了道路。
肯尼斯·黎贝（ Kenneth Ribet ，简称肯·黎贝， 1948- ），美国数学家，目前在柏克莱加州大学任教，研究领域涉及代数数论与代数几何。
图 1 ：证明 FLT
黎贝出生于纽约布鲁克林，父母均为犹太人。黎贝在法拉盛高中读书时，加入了竞争激烈的数学队，但他本科最开始学习的领域是化学。黎贝 1973 年从哈佛大学获得博士学位后，在普林斯顿大学任教三年，之后于 1978 年，加入加州大学伯克利分校数学系。
黎贝于 1986 年证明了 ε猜想 ，所以现在它被叫做 黎贝定理 。此外还有至关重要的是，它还表明，为了证明费马大定理，不需要证明完整的谷山 - 志村猜想，只需证明一个特例，即半稳定椭圆曲线满足猜想，就足够了。弗雷曲线就是这种“半稳定椭圆曲线”。
而弗雷提出的联系也由黎贝证明了：如果用费马方程的解作为一组数，以这种方式构造椭圆曲线，则得到的椭圆曲线不能是模的。
所以，现在只剩下找出最后一个钥匙：只要能 对“半稳定椭圆曲线”证明谷山 - 志村猜想 ，就自动证明了费马大定理。因为如果所有半稳定椭圆曲线都必须是模的，而黎贝定理又表明，费马方程的解创建的半稳定椭圆曲线是非模的。这两个陈述唯一可能为真，就是费马方程没有解，这样就无法创建这样的曲线。
不过，找到最后一个钥匙很难。 30 年来，所有企图证明谷山 - 志村猜想的努力，都以失败告终，即使是黎贝也说：“我甚至没有想到过要去试一下证明它”。大多数数学家都认为这是一块搬不动的大石头。
参考资料：
【 1 】 Frey, Gerhard (1986), "Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae,
【 2 】 Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q)", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230
【 3 】 Ribet, Ken (1990). "On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms" (PDF). Inventiones Mathematicae. 100 (2): 431–476.
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