科学网—我们不知道答案的125个科学问题(120)椭圆曲线的有理解

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2025-2-19 10:27

| 个人分类: 科学教育 | 系统分类: 科普集锦

以下的 六 个科 学问题都是数学领域的问题，它们也是 克雷数学研究所 选出 的七个 突出数学问题，其中第 1 个问题在科学问题 (19) 计算机的运算极限 中已经进行了介绍(也就是 P vs NP 问题)。下面开始逐个解读剩余 的六个 数学问题，要想更详细地了解克雷数学研究所选 出这 七个 千禧年数学问题，请访问 克雷研究所的网站 。

120. 是否存在一个简单的方法来证明椭圆曲线是否有无限个有理解？

Is there a simple test for determining whether an elliptic curve has an infinite number of rational solutions?

题记 ：具有 y 2 = x 3 + a x + b 这种形式的椭圆曲线方程是一个强大的数学工具。贝赫 (Birch) 和斯维纳通-戴尔 (Swinnerton-Dyer) 猜想( BSD 猜想 )告诉我们如何在 有理数范围内 确定椭圆曲线有多少个解，如果 BSD 猜想正确，那么它可以用来解决许多问题。读懂本文必须具备群论的基础知识。

1. 数字、数域和方程

数学源自于人类计数的需要(当然为什么需要或能够计数，你可以认为这源于 物质世界是可以被分割的结构 这样一个客观现实)，所以人类发明了数字 (1, 2, 3,......) 和计数方法。简单点讲数学就是研究 数字之间相互关系的科学 。显然，最自然的数就是 自然数 1, 2, 3, ..... ，全体自然数的集合一般用 N 表示。由此可见 自然数是数学的基础 。

图1 计数用的加法和乘法 以及乘法中的平方数

在 自然数 N 上为了表达 没有或空 就引入了 0 ，接着为了表达 亏欠 就引入 负数 ，而这些数一起就构成了 整数集合 Z 。可见，数字之间最直接的关系就是计数用的 加法关系 ，引入 加法的 逆运算 减法 就能从自然数中产生 0 和负数，可见运算规则可以扩充数的集合。然而在实际计数的时候人们还发现了一种更为快捷的计数方法： 乘法 。如图 1 所示，一堆石头需要计数是多少个，可以用加法一个地一个数，也可以放成 几行几列 ，然后用乘法来更快地计数。乘法的引入带来了逆运算 除法 (除法就表示分组或分割)，而除法的运算又带来了和我们这个问题有最重要联系的数学概念 有理数集合 Q ：如果一个数能表示成 两个自然数相除的形式 ，就称为 自然有理数 。当然如果考虑 0 和负数，也就是能表示为 两个整数相除的形式 就称为有理数。用数学语言表示就是：能表示为 p / q 的数, 其中 p 为整数， q 为整数。而数学上 p / q 如果不等于整数时叫做 分数 ，如果 p / q 等于整数时 p 称为 q 的倍数， q 称为 p 的因数，可记为 p| q 。显然以上的有理数概念里有一个非常特殊的数，就是分母 q =0 的有理数，我们一般将其称为 无穷大 ∞ 。当然无穷大由于过于特殊一般都要单独拿出来进行说明是否包括在有理数的集合里。这里引入数集合里的数域概念，数域 (number field) 就是在 加减乘除运算 ( 四则运算 ) 运算下保持封闭的数的集合，比如最常用到的有理数集合 Q 就是一个数域，其中就需要包括 无穷大 ∞ 。

有了有理数域的概念之后，人们又发现了自然数通过 乘法 还能得到不是有理数的数，即 无理数 。发现无理数的一个最重要的乘法运算就是如图 1 所示的 自己和自己相乘 得到的自然数，也就是能够摆成方块的 平方数 ，然后对自然数引入 平方的逆运算 就是 开方 (如此推广如立方、 n 次方等及逆运算)。继而 有理数和无理数一起构成 实数域 R 。 开方运算在自然数上不仅导致了无理数的发现，而且在整数中 负数 上的开方还引入了 复数 的概念： - 1 的开方等于 i ， 复数 的集合用 C 表示，也构成复数域 C 。本问题就是要在一定 数域上 讨论数的关系，比如平方数和立方数之间的关系。

数学家研究数字之间关系的时候，发现了许多让人惊叹的联系，比如上面提到的自然有理数 p / q ，如果 p 和 q 没有公因数或最大公因数是 1 就是 互质关系 (数学上表示为 gcd ( p , q )=1 )；自然数中没有因数的数(除了自己和 1， 即图1中不能分成方块的数)就称为 素数 (数论的很多定理都与它有关)等等。而表达数字之间经常用到的关系式就是 方程 ，例如表达平方数之间关系的式子： x 2 + y 2 = z 2 ，这个式子中最为重要的关系符号就是“ = ”，它几乎是数学研究的 核心符号 (后来在不同对象上推广为 等价、同构、同胚 等概念)。上面的关系称为 代数方程 ，它有三个代表数字的代号 x , y , z ( 代数 )，称为三元方程，最高乘方次数为 2 ，称为 三元二次代数方程 。以上的三元二次方程给出的数字间的关系和著名的三角形勾股定理有密切联系：如果直角三角形三条边长为 a , b , c 的话，那它们就满足上面的关系： a 2 + b 2 = c 2 。数学家对这种代数方程关系所给出的解有着非常狂热的好奇和追求，比如 x 3 + y 3 = z 3 的解 ( x , y , z ) 在整数范围内是什么？这个问题包括方程是否有解( 解的存在性 )？如果有解是什么解(解的唯一性、 有限性、分类 等问题)？比如有一个和本问题有紧密联系的数学问题： 费马大定理 (Fermat’s Last Theorem)

三元 n 次方程 x n + y n = z n , n > 2 在 自然数范围内 有没有解？

费马大定理的结论是： 解不存在 。这个定理在 1995 年前还叫费马猜想，因为 1995 年被美国数学家安德鲁 · 怀尔斯 (Andrew Wiles) 最终证明。而且这个证明中用到了一个二元 ( x , y ) 三次方程所定义的平面曲线： 椭圆曲线 ，它在证明费马大定理中起到了关键的作用(怀尔斯证明费马大定理论文的题目就是： Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem )，而其中的椭圆曲线 (Elliptic Curves) 就是本科学问题所要重点讨论的对象。下面我们将 120 个科学问题所要讨论的问题再做一个重新的描述： 对于椭圆曲线，它的解集 ( x , y ) 在 有理数范围内 是有限还是无限的 ？

为了搞清楚这个问题，我们首先要科普一个重要的概念： 椭圆曲线 。

2. 椭圆曲线 (Elliptic Curves)

简单地来讲，椭圆曲线是由下列二元三次方程所定义的平面曲线：

其中 a 和 b 是参数。 a 和 b 可以取整数 Z 、有理数 Q 或实数 R ，无论如何要求系数的判别式 Δ ═ - 16(4 a 3 +27 b 2 ) 不等于0。当然最为有意思是 a 和 b 都取 整数 时情形，而且一般常在 实数域上 考察椭圆曲线 (1) 的解 ( x , y ) 。所以这里需要明确椭圆函数的定义 数域 ，如果解 ( x , y ) 在某个 数域 K 上取值，我们就称椭圆曲线是在 K 域上的椭圆曲线，因为不同数域上的椭圆曲线不仅形式和图像不同，而且求解的难易程度也不同。上面的形式 (1) 被称为 魏尔斯特拉斯形式 (Weierstrass form) ，这是在有理数域 Q 、实数域 R 上椭圆曲线最一般的 标准形式 (当然在其他 数域 K 上式 (1) 并不一定是一般形式，这个结果来自于 莫德尔 - 韦尔定理 Mordell-Weil Theorem 及其推广情况，这里会涉及数域 K 的其他性质， 为避免复杂 不在此讨论)。

图2 椭圆曲线图像和奇异的椭圆曲线

椭圆曲线之所以叫椭圆曲线是因为该曲线和 计算椭圆周长 的积分有关(本网站也有很多博主有介绍，如 张天蓉网友的博文 ，也可参考文献： 科学通报 61(34)3638, 2016 )。为了对椭圆曲线有一个直观的认识，图 2 中展示了不同 a 和 b 参数(图中取整数)下的椭圆曲线图像(椭圆函数的实数解就是曲线上连续的点，在其他数域 K 上椭圆函数可能是一些 离散的点 ，在 复数域 C 上还是一个 环面 )。在这些图像中判别式 Δ 为零的曲线，如图 2 右边所示的两个曲线都是奇异的曲线，上图曲线在 (0,0) 处存在一个 尖角 ，而下图的曲线 自己和自己相交 ，这两种情况都表示 椭圆曲线不光滑 (存在导数不连续的点)，所以 (1) 式所定义的椭圆曲线应该是 光滑的椭圆曲线 ，不包括那些不光滑的特殊情况。

根据图 2 中椭圆曲线的图像，我们可以对椭圆曲线所表达的解给一个集合上的表述：所谓实数域上光滑椭圆曲线是指以下的集合：

显然 E ( R ) 的集合是一个由实数对 ( x , y ) 为元素组成的集合，也就是图 2 所示的椭圆曲线上的所有点连成的线，集合的元素自然是无穷多个。当然如果在有理数域上椭圆曲线的集合则表示为： E ( Q ) 。利用集合概念，第 120 个科学问题可以重新表述为：对于椭圆曲线 E ( R ) 集合中 有理数元素 (或者对于 E ( Q ) 集合的元素)的个数是有限的还是无限的？也就是说图 2 中光滑椭圆曲线上的点中 有理数点 的个数是有限的还是无限的？

这个问题直观上看好像有理数的解应该是无限的(因为实数解就有无限多个)，然而了解下面一些关于这个问题的结果和定理，你对这个问题就会产生不同的认识。

3. 一些相关的结果或定理

首先 1983 年, 法尔廷斯 (Faltings) 证明了 次数大于 3 的光滑平面曲线只有有限个有理数解 。那么对于次数等于 3 的椭圆曲线，由于它处于有限和无限的临界点，这个问题却变得非常复杂了。数字 3 一直都是个非常特殊的数，比如除了费马大定理以外拓扑学中还有一个著名的 庞加莱猜想 (任何一个单连通的闭的 n 维流形一定同胚于一个 n 维的球面)。对于 n >3 的情况很容易就被证明了，但对于 n =3 的情况到 2003 年才被格里戈里 · 佩雷尔曼证明( 2006 年数学界才最终认定)，所以一般把最难的 n =3 的情况才称为 庞加莱猜想 。

对于椭圆曲线这类二元三次方程，其有理数解的个数目前并没有最后结论，但其中有以下的重要结果：对于有理数域 Q 上的光滑椭圆曲线 E ( Q ) ，其元素构成一个群，而且该群是 有限生成的阿贝尔群 (finitely generated Abelian group) ，这个结论被称为 莫德尔 - 韦尔定理 (Mordell-Weil Theorem) 。这个定理最终在广义的数域 K (如整数 F p 域、有理数域 Q 、实数域 R 、复数域 C )上都被证明成立：

Mordell-Weil Theorem : Let E be an elliptic curve defined over a number field K . The group E ( K ) is a finitely generated Abelian group.

当然对具体的数域 K 如实数域上的 E ( R ) 也都构成一个 有限生成的阿贝尔群 (有限个群元通过群运算产生的交换群)，为了更加直观，我们还是在实数域 R 上先利用 曲线 来方便考察椭圆曲线集合 E ( R ) 构成的 群结构 ，之后再回到 E ( Q ) 群上，然后在讨论密码学时再讨论整数 F p 域上的椭圆曲线的离散群 E ( F p ) ，之后适当讨论复数域 C 。

图3 实数域椭圆曲线的加法运算

如图 3 (a) 所示，取椭圆曲线上的任意两点 P 和 Q ，通过 P 和 Q 做一条直线，其一定和椭圆曲线相交于 R 点，对于这三点有如下的关系： P + Q + R = 0 。这里首先需要注意，这里的群运算 + 不是数域上的加法运算( P + Q 不是直接将 P 和 Q 点的坐标相加，具体的加法操作在下面给出)，用 直线 能形象地给出点的对应关系，而0是指群运算 + 的 单位元 ；其次图 3 中 (b) 和 (c) 的情况指 P = Q 的切线情况(两点靠近为切线)，而和 y 轴平行时的线 (d)(e) 和椭圆曲线的交点从图像上看应该是无穷远的点，而这个无穷远的点就是群的 单位元 0点(这一点似乎有些抽象，可以认为无穷远点就是群的单位元0)，所以椭圆曲线 E ( R ) 如果引入无穷远点作为单位元0后，就构成了一个 封闭的具有加法性质的交换群 ：

显然从群的角度看图 3 (d) 中 P 和 Q 就是互逆的元素 ( Q = - P ) ，也就是椭圆曲线上关于 x 轴对称的点 ( x , y ) 和 ( x , - y ) 的两个元素是互逆的，这也来源于椭圆曲线 y 2 项的对称性；根据 图 3 的图像，我们可以发现椭圆曲线上三个点总满足 P + Q + R = 0 (无论有没有重复)，根据这个等式可以给出 E ( R ) 中两个群元 P 和 Q 的 群加法 运算规则 P + Q 。 如 图 3 的 (a) 或 图 4 (a) 所示 ， 设三个点的坐标分别为：

首先当 P 和 Q 不同时，根据 P 和 Q 的坐标计算直线 y = kx + c :

此时直线的斜率 k 和 c 分别为：

利用直线方程计算直线和椭圆曲线的交点即可得到如下结果：

其次 当 P = Q 时，如 图 3(b)(c) 所示，此时的直线为切线，带入 (6) 式的斜率 k 和截距 c 分别为：

以上的这些算法有现成的程序可以使用，利用程序可以非常准确地验证群 + 运算给出的结果： P + Q = - R 就是元素 R 点的逆元- R = ( x r , - y r ) ，显然它依然在 E ( R ) 中。利用这个运算规则我们可以进一步检验群加的交换律、结合律等等，最后可以证明 (3) 式所定义的集合 E ( R ) 确实是一个 交换群 。椭圆曲线的群结构预示着群中的元素可以通过群元的加法来不断产生，见下图 4(a) 所示，用 P 点和 Q 点的加可以产生- R ，用- R 的逆产生 R ，然后用 P 和 - R 的交点产生 S 和- S 等等，这些不断产生的元素都属于包含 P 和 Q 的同一个子群。

图4 实数域上椭圆曲线的群结构

椭圆曲线群结构的另一方面， 如图 3 (e) 表达的结果: P + P = 2 P = 0 ，这种情况表示 (e) 中的这个点实行了 自己到自己的群操作 后就等于单位元0，如此可以定义群的 数乘 nP , n 是 自然数 。注意在一般的群论里群元素自己对自己的操作经常写为 P 2 ，但此处的群运算 + 具有“ 加法 ”的性质，所以才有这样的乘法： 3 P = P + P + P ,如此等等。在群理论里有一个 循环群 (Cyclic group) 的概念，就是整个群都由群元 g 自己和自己的群操作生成，如果 至少 操作 n 次后等于 群的单位元 ，则这个 n 叫生成元 g 的 阶 (循环周期)，也是该 群的阶 (群元的个数),群可标记为 C n 。如果这个群的生成元是 整数 Z ，那么阶为 n 的整数循环群就记为 Z n 。所以 图 3(e) 中的那个点 P = ( x , y ) 的阶就是 2 ，它的运算规则根据椭圆曲线可以这样计算( 2 P 的 x 坐标)：

然而椭圆曲线上还有 3 阶、 4 阶、 5 阶等等很多不同阶的点( mP = 0 , m < ∞ 为有限自然数)，而这些点和群加法一样也可以用来产生 E ( R ) 群中的元素，而它们构成不同阶的 有限循环子群 。椭圆曲线群的这些性质都在说明这个实数域上的阿贝尔群一定具有某种群结构。 根据以上对实数域上椭圆曲线群的生成计算，我们可以发现，在实数域 R 上椭圆曲线 E 上的点组成的这个有限生成的阿贝尔群，应该是一个可解的 连续对称群 ，而这个群同构于单位圆循环群 S 1 (见图 4(a) 所示)或同构于直乘群 S 1 × C 2 (见图 4(b) 所示) 。

特别地对于数域 K 是 有理数 域: K = Q ，根据 莫德尔 - 韦尔定理 ，群 E ( Q ) 是 E ( R ) 的子群，而且是 分立群 ，根据 有限生成阿贝尔群 理论，群结构由梅热定理 (Mazur Theorem) 给出：

显然椭圆曲线群 E ( Q ) 可分解为 两个 子群 的 直和 ，其中 T 是所谓的 扭子群 (torsion subgroup) ，这个扭群 T 是一个由 有限个元素 组成的 阿贝尔群 ，包括 E ( Q ) 中所有的 有限阶 元素 ，对其的研究已经比较清楚。数学上有限 扭群 T 是 和整数循环群 Z n ( n 为 1 到 10 的自然数加上 12 )以及 Z 2 m ⊕ Z 2 ( m 为 1 到 4 ) 共 15 个群 中的某一个同构，所以扭群 T 做为 有限群 来说其最高阶不超过 16( 注意 T 子群可能存在不是循环群的情况，如 Z 2 ⊕ Z 2 ，这种非循环情况可以理解为两个循环群 Z 2 扭了一下直和构成的，所以叫扭群 ) ；而群 Z r 就是整数域上 r 个整数群的 直积 ，表示有限 r 个 无限群 的直积群，其中 r 就称为椭圆曲线群 E ( Q ) 的 秩 ( rank )。注意秩可以理解为阿贝尔群生成元的个数，所以 以上公式 (9) 所代表的 有限生成群 E ( Q ) 可以重新表述为： E ( Q ) 中任何元素 P 都可以被群中 一组有限的元素 { P 1 , P 2 , ..., P t } 表示为

显然对于 (10) 式来说 群 E ( Q ) 又构成了一个 线性空间 ，代表任何元素都可以被一组独立的元素生成，也就是任何群元素 P 都可以在一组基 P 1 , P 2 , …, P t 下对应一个 整数坐标 ，这个坐标的维度 t (维度 t 是确定的，它不随基的不同选择而改变)和群秩 r 有关(要去除 有限阶元素 以后的空间维度，所以 r 代表有多少能生成无限群的元素， r =1 表示有1个能生成无限群的元素， r =0 则代表没有生成无限群的元素，表示此时 E ( Q ) 群只是有限 T 群)，所以这个 r 一般很难计算，因为它代表群中有 几类 和 无限整数群同构 的元素，注意 r 是无限群的维度，所以在整个有理数域上非常难以计算，但可以通过在 有限 的 整数余数循环域 F p 上来进行计算，这种叫 E ( Q ) 群代数秩的 模算法 ，后面我们再具体讨论。

对于 式 (9) 中的无限 群 Z r 中的秩 r 的问题，也就是椭圆曲线群代数秩的情况目前并不清楚，比如有没有计算代数 秩 r 的有效算法， 秩 r 的可能值会有哪些(比如已经发现了秩 r = 27 的高秩椭圆曲线等)， r 有没有上界等等问题，所以对 有理数椭圆曲线秩 r 有很多猜想，比如有 猜想 认为：存在秩 r 任意大的椭圆曲线 。 现在对 秩 r 的 最好结果是 Bhargava 和 Shankar 证明的一个结论(获 2016 年菲尔兹奖)：有理数域上所有椭圆曲线 秩 r 的 平均值 小于 1 。椭圆曲线秩的问题是本科学问题所关心的核心，正因为 r 的不确定性和难以计算的特点 ，才导致了椭圆曲线在 密码学中 的应用。下面我们就在 有限 的 整数余数循环域 F p 上来考察和计算一下 有限域 的椭圆曲线群及其秩的问题。

4. BSD 猜想

椭圆曲线领域有一个最重要的猜想： BSD 猜想，为计算椭圆曲线的 秩 提供了一个思路。在介绍 BSD 猜想 之前有两个重要的概念需要介绍。首先介绍一下 有限数域 F p ，其中 p 为一个 素数 ，它是所有整数对 p 取模余数的集合： F p = {0, 1, 2, ..., p - 1} ( p 不是素数时 不是数域 ) 。在 数域 F p 上的椭圆曲线就是 (3) 式 中所有变量 x , y 在 数域 F p 中取值，而 参数 a , b 可以取使 判别式 Δ 不为零的 任意整数 ( Δ 也要取模)，这样的椭圆曲线群记为 E ( F p ) ，它是一个在模 mod p 运算 下封闭的 有限群 。对于 数域 F p 上的椭圆曲线，对任意不整除判别式 Δ 的素数 p 都可以认为是对有理数域上椭圆曲线群的一个好的 模约化 (good reduction at p ) 。举一个例子， 例如对于取素数 p = 17 的数域 F 17 上的椭圆曲线为：

此时在模曲线 (11) 上计算群加法时依然利用 (5)-(8) 式进行计算，只是计算时所有加减法和乘除法都是在模运算 mod 17 下进行的。比如用 E ( F 17 ) 中的点 P =(11 , 3) 和 点 Q =(14,8) 计算 P + Q 点，将坐标带入 (5) 式和 (6) 式，可以计算出 E ( F 17 ) 中的 另外一个点- R ，注意在计算的时候加减乘除四则运算都要用模加法、模乘法进行，比如计算斜率时的 除法 要用 乘法的逆 来计算，斜率因此要写为 k = 5/3 = 5 × 3 - 1 ，其中的 3 - 1 表示 3 在数域 E ( F 17 ) 中的逆元： 6 ，所以 k 的计算结果应为： Mod [ 5 × 6 , 17] = 13 ( 其中 Mod[] 是 mathematica 取模函数)，所以计算中的每一步都是在取 mod 17 下的运算 。 同样 计算 2 P 也要用 (8) 式在模操作下进行计算，最后我们可以反复通过群操作计算得到群 E ( F 17 ) 中 的所有有限点(如图 5 所示 )。

图5 椭圆曲线E(F 17 )的图和群运算表

显然从图 5 中可以看到在有限数域上的椭圆曲线群 E ( F 17 ) 是由有限的点组成的，其群的元素个数(群阶)为 15 。当然如果 p 取更大的素数，则椭圆曲线群的元素个数 一般 会更多(因为数域 F p 的范围也会越来越大，当然其元素个数最多不会超过 2 p +1 ,平均大概就是 N p ∽ p +1 ,见图 6 左图)，比如 p = 37 的群 E ( F 37 ) ，其元素就变成了 45 个，计算结果发现此时群可以分解为两个 循环群 的直积： C 3 × C 15 。这里有一个定理用来估算群 E ( F p ) 中元素的个数 (Hasse’s Theorem) ：群 E ( F p ) 中元素的个数 N p 的范围满足： | N p - ( p + 1)| ≤ 2 (参见下图 6 右图所示)。 所以当椭圆函数群 E ( F p ) 在 p 很大的时候， 群 E ( F p ) 也非常大，这样可以用来进行加密计算。具体用于加密的算法依赖于称为 椭圆曲线分立对数的问题 ( ECDLP : Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem) ，也就是在 群 E ( F p ) 中找两个元素 T 和 S ，寻找它们之间满足 T = m S 的整数 m ,其中最小的 m 被称为分立指数(指标)。当然你可以随机地选择一系列整数利用 (8) 式进行计算直到找到 m ，然而这个算法的复杂度和群的大小有关，这个问题的 算法复杂度 比 P 问题要难，但比指数 NP 问题简单，所以称为亚指数难度问题。

图6 群 E ( F p ) 的群元数 N p 和 p 的关系 图中计算了5000以内所有素数

总之，椭圆曲线从有理数域的 E ( Q ) 群 到有限域 F p 的模约化给出了 E ( Q ) 到 E ( F p ) 的一个群同态 (group homomorphism) 对应，即 E ( Q ) 中的有理数点 P 可以同态对应到 E ( F p ) 的点 P * = P (mod p ) 上，此处不做详细说明。为了介绍关于椭圆曲线群秩有关的 BSD 猜想，我们再来引入一个重要的椭圆曲线的哈斯 - 韦伊 (Hasse-Weil) L 函数。 L 函数是一个变量为 s∈ C 的复变量函数，定义如下：

对于 L ( E , s ) 函数可以这样计算，对于椭圆曲线可以不断取不整除判别式 Δ 的素数 p ，然后在 模约化 群 E ( F p ) 上计算群元素的个数 N p ，然后不断带入如下的 L ( E , s ) 函数中(不存在 Δ 被 p 整除的项):

以上的 L ( E , s ) 函数 可以证明在 s 的实部 Re( s ) > 3/2 时是收敛的。对于 (13) 式所定义的 L ( E , s ) 函数在临界点 s =1 处的行为可以证明具有下列性质：

显然由 (14) 式可见，当群 E 的规模 N p 很大的时候必然有 L ( E ,1) = 0 。所以根据这个性质 BSD 三个人就猜想 ，如果有理数域上的椭圆曲线群 E ( Q ) 是无限的 即 N p = ∞ ，那么就一定会有 L ( E ,1) = 0 ，这就是 BSD 猜想的主要思路。为了得到 L ( E , s ) 函数 在临界点 s =1 处 的性质，经常做的方法就是将 L ( E , s ) 函数 解析延拓 到整个复平面，并将其在 s =1 处做泰勒级数展开进行解析分析，就可以得到该函数在 s =1 点的解析渐进性质：

上式 (15) 中的这个 r an 就被称为是 L ( E , s ) 函数在 s =1 处的 解析秩 (analytic rank) (前面 (9) 式中的 r 称为椭圆曲线群的代数秩)，这样 BSD 猜想 就可具体表述为：对每个椭圆曲线 E ，其 L 函数在 s =1 处的 解析秩 就等于椭圆曲线的秩： r an = r 。 BSD 猜想表明通过对椭圆曲线所有素数模约化群的计算可以确定有理数椭圆曲线 E ( Q ) 群的秩，也就是能确定到底需要多少个有理数点能用来产生整个 E ( Q ) 群，或者能够确定 E ( Q ) 是有限还是无限的。 根据 式 (15) 可以证明如果此处的解析秩 r an =0 ,则群的秩就等于 0 ，如果 解析秩 r an =1 ,则群的秩就等于1 。 所以根据 BSD 猜想，如果猜想 成立那么就有以下推论： L ( E ,1) = 0 当且仅当椭圆曲线 E 有无穷个有理数解。

BSD 猜想 的解决和很多问题的解决都有重要联系，如著名的同余数问题：给定正整数 n , 是否存在三条边都是有理数的直角三角形, 其面积恰好是 n ? 已经证明 n 是同余数等价于和它相关的椭圆曲线有无限多个有理数解。而椭圆曲线理论在解决费马猜想中也起到了关键作用。如果费马方程有整数解，那么这个解就满足一条椭圆曲线方程即 费雷 (Frey) 曲线 ，而 1990 年里贝特 (Ribet) 证明该曲线 不能是模曲线 ；然而谷山 - 志村猜想 (Taniyama-Shimura conjecture) (怀尔斯 1995 年证明了该猜想)又可以推出任何费雷曲线 都是模曲线 ，从而产生 矛盾 , 也就证明了费马方程无非平凡整数解。

然而， BSD 猜想至今仍未得到解决，解析解给出的最好结果是 r an < 3 ，而采用代数方法计算群秩的道路也充满挑战，虽然有很多算法上的进展，但都不能给出群代数秩的确信计算结果，所以大多数数学家都认为，解决该问题需要提出新的想法和概念才能解决。证明 BSD 猜想还需大量的理论工作和创新的数学能力，如果它很容易的话，就不会被克雷研究所选择为价值一百万美元的千禧年七大数学问题之一了。

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