科学网—杂说“加减乘除”（2）

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2025-11-20 07:32

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杂说“加减乘除”（2）

我们在日常生活中，用到乘字的地方，如乘车、乘船、乘飞机、乘人之危、可乘之机、乘火打劫、乘风破浪、上乘之货物等等，这些乘字都似乎与二三得六、三三得九的乘法没有什么关系。人们不免会问，在数学中乘法的乘字到底怎么讲？

乘字的本义是登、升，就是到了高的地方，上到高处。它的甲骨文就像是一个人待在树上。《说文解字》则称：“乘，覆也”。覆是盖在上面的意思，可以是人自己上去，也可以人把别的什么事物放到上面。

如《诗·豳风·七月》有句子“亟其乘屋”，就是赶紧上房顶去修补，去筑漏。《史记·田单传》讲田单设计使燕兵懈怠：“令甲卒皆伏，使老弱女子乘城。”

乘车，人总是在车上，古代乘车的人一般是要拉着绳子走上马车去的，所以称乘车，也说升车、登车。

如今我们乘坐什么交通工具都说乘，乘船、乘飞机、乘轿子、乘火车。

驾驶当然也是乘，《易·乾卦》：“时乘六龙以御天。”《易·系辞》：“服牛乘马，引重致远。”《墨子·亲士》：“良马难乘，然可以任重致远。”这里的乘都是驾车，驾车当然要在车上。

《论语·雍也》说公西华出使齐国“乘肥马，衣轻裘”，就是说他坐着肥壮马匹拉着的车子，穿着轻暖的裘皮衣服。

《论语·公冶长》中记载，孔子说：“道不行，乘桴浮于海，从我者其由与？”这句话的意思是说，如果主张无法推行，我就乘着木排漂流海外，能跟着我的，就是仲由（子路）吧？

又如“昔人已乘黄鹤去，此地空余黄鹤楼”。乘黄鹤那就是骑在黄鹤背上了。

更可以引申到想象中的虚拟的工具，如乘云、乘风，乘云驾雾、乘风破浪。

乘还可以引申到利用更加抽象的“形而上”的东西，如便利、形势、机会等等。

如贾谊《过秦论》：秦“因利乘便，宰割天下，分裂山河”。

又如《孟子·公孙丑上》：“齐人有言曰：‘虽有智慧，不如乘势。’”

我们现在还经常使用乘便、乘机、乘势、乘兴这些词语。

所有这些，都是从乘的本义引申出来的，段玉裁在《说文解字注》中说：“加其上曰乘。”所谓“加其上”，用现在的白话说，就是放在它上面。乘屋是人到了屋面上。乘车是人登上车，到车上。乘云是人到了云上。这些用法中的乘，都有加在什么之上的意思。

在数学中，所谓数字的乘法，只是“加法的简便运算”。

5 ×2就是把两个5加起来，即先有一个5，再有一个5加其上，那可以称5乘以2，或者5与2相乘。如果再加上一个5，那就是三个5相加，即5乘以3，5×3。

这里的“乘”就是从“加其上”这个初始意思出发，变成了乘法的计算。

这里的5是一次次被加上去的数，称为被乘数，加上去的次数称为乘数。

计算的结果就是连续相加的结果，一次又一次地“加其上”，积累起来，故而称“积”。

减法是加法的逆运算，除法则是乘法的逆运算。

除，本义是宫殿的台阶。除，从阜（即“左耳朵”阝）余声。左耳朵阝总是与高出地面有关。古代造宫室为了防止潮湿，把房子建造在较高的地基上，特别是统治者的宫殿，更是高出平地许多，以显出其地位的崇高。这样，登堂入室就必须经由台阶，除就是宫殿的台阶，也引申为其他房子的台阶。

如刘禹锡《陋室铭》“苔痕上除绿，草色入帘青”。又如《朱柏庐治家格言》：“黎明即起，洒扫庭除”。

这些句子里的除，都是台阶的意思。

向上走或向下走都经过台阶。古代升官或任命官吏称除，降职则称左除。如文天祥《指南录后序》：“予除右丞相兼柩密使，都督诸路军马。”

总之，旧时官场，除是去旧职任新官。

清代文字学家段玉裁在《说文解字注》中说：“凡去旧更新皆曰除。取拾級更易之义也。”

正如段玉裁所言，除是去旧更新。所以，一年的最后一天称除日，最后一个晚上称除夕，以后除夕引申至最后一天，除夕就是除日。王安石有诗句：“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏”。那天是除旧迎新。

也正因为如此，所以除往往引申为去掉。现在常常说去除或除去，这实际上是如今除字最多的用法。我们现在常常用的词语，根除、铲除、开除、拆除、除暴安良、斩草除根、排除万难以及除此之外等等，这里的除都是去除的意思。

著名的珠算口诀，三下五除二，在教科书上又说成三下五去二。不过现在三下五除二往往被用作形容动作麻利、做事干脆利索，成了一个成语。

在这些意义上，除就是去，去就是除，放在一起称去除或除去。

对于古人来说，乘法是把一个数一次次地加上去，在一定的次数，去求其积；乘字的意思是“加其上”，积字的意思是积累。

除法则与之相反。它要做的是求一个数甲的值，把这个数甲从另一个数乙中一次次地去除，在一定的次数后，正好把乙数去除干净。这里除字的意思是去除，也正好与乘字“加其上”的意思相反。

对古人来说，乘法是比较容易的，只需要一次次地“加其上”就可以了。而除法则比较难一点了，他要把一个未知的数甲从一个数乙中去除，在一定的次数内去除干净。怎么办？只能靠先试试看。

看下面的例子，求494除以19的结果。

按照最原始的定义，问题就是要把494平分成19份。这只能先估计，如果每份30，那么19份就要570了，肯定不够分。如果每份20，那么19份就是380，不到494，所以结果一定在20与30之间。494减去380还剩余114，114平分成19份，试一试可以知道是6。所以494除以19等于26。现在小学生学习的除法竖式，就是表示了这个计算过程。

494 被除去了19次，每次去除26，正好去除尽。494是被除之数，称为被除数；19是去除的次数，称为除数。这个计算的方法称为除法。

而除法的求解过程，是试算的过程。所谓试，就是不断估计，不断“商议”。所以把计算的结果，称为商。

《说文解字》说：“商，从外知内也。”也就是说，商的本义是测度，估量。

商功，就是测度工程量。汉代的《九章算术》的第五章名商功，其内容是测量体积、计算工程用工的方法。

商是测度，量也是测度。测度总有误差，众人在一起测度，就需要听取各人意见，求得一致，这就引申到如今意义上的“商量”。

除法的计算过程，就是求商的过程，其结果称为商，也就是可以理解的了。

这就是古人对于乘法、除法及后来人们对计算过程中各个术语名称即被乘数、乘数、积、被除数、除数、商的来历。

两千多年以前的《九章算术》有这样的叙述：

“今有田广十五步，从十六步。问为田几何？

答曰：一亩。

有田广十二步，从十四步。问为田几何？

答曰：一百六十八步。

方田术曰：广从步数相乘得积步。

以亩法二百四十步除之，即亩数。”

这里的从就是纵。广相当于宽，纵相当于长，“广纵步数相乘”，就是15×16=240，12×14=168。

这就是《九章算术》中所说的“广从步数相乘得积步”。

240 步是一亩，168÷240，得到的就是亩数。这就是“以亩法二百四十步除之，即亩数。”

乘、除这些术语都是在两千多年以前的中国就有的。

有意思的是，在几千里之外的欧洲，multiply 或 multiplication 本来的意思也是增加、多，但是在计算时就作乘、乘法。也就是说，那里的乘也是从加推衍出来的。

同样，那里的divide和division，也是分开、差别等意思，计算时作除、除法。

相距千万里之遥的人们，思考的方法竟非常相近。

加减乘除这些数学问题，涉及古人对于物质的分配，由此可以设想，人类对于这些数学问题思考的起源将非常非常早。

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