科学网—费马大定理
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2024-12-1 06:50
| 个人分类: 系列科普 | 系统分类: 科普集锦
谷山 - 志村猜想：
图 1 ：谷山 - 志村猜想
此篇介绍模性定理，即谷山 - 志村猜想 【 1 】 。怀尔斯部分证明了这个猜想，从而证明了费马大定理。其余几位科学家，遵循怀尔斯的思路，于 1999 年完成了这个猜想的整体证明。所以，现在它被叫做“模性定理”，或谷山 - 志村定理。
我们曾经介绍过拉马努金的 tao 函数，如今知道这是一种模形式（ Modular forms ）。 1954 年，德国的艾希勒（ Eichler ， 1912-1992 ）研究了此类函数，得出一些有意思的结论，图 2 。后来，日本的志村五郎（ Shimura ， 1930-2019 ）继续和推广了他的工作。另外一位日本科学家谷山丰（ Taniyama Yutaka ， 1927-1958 ）用模形式研究椭圆曲线，和志村五郎提出了一个谷山 - 志村猜想。他们猜测任何定义在有理数域上的每个椭圆曲线都对应一个模形式，但没有给出证明。
图 2 ：模形式的例子
1 ，两位日本数学家
这是一个悲恸传奇的人生故事，故事开始于 1927 年，却戛然结束于 1958 年的那一天。 11 月 17 日，星期四清晨的东京，一个不起眼的公寓里传来一声枪响，不会有人注意到这点，直到公寓管理员后来发现死于自杀的他……
他叫谷山丰（ Taniyama Yutaka ， 1927-1958 ），和另一位日本数学家志村五郎（ Shimura Gorō ， 1930-2019 ）都只有本科学历，却在数学史上留下了浓墨重彩的一笔。
两位都在东京大学数学系读了本科，之后又留校担任助教和讲师。他们早就认识，但各干各的直到 1954 年 1 月的一天……。志村五郎去图书馆借一本书，但那本书被谷山丰借走了。志村给这位校友写了封信，然后令他吃惊地得知：谷山在进行同样的计算，并且在同一处被卡住了。于是，他们开始了合作。
由于二战的原因，那时侯，日本最优秀的数学家都去了美国，年轻教师只能靠自学学习新知识。志村五郎与谷山丰非常着迷于椭圆曲线和模形式。谷山丰认为这两者之间有某种联系，于是，便和志村五郎合作，希望能找到更多的证据，并从数学上证明这种联系，后人称他们的假设为“谷山 - 志村猜想”。此外，他们还一起完成了一本书：《现代数论》，于 1957 年 7 月出版。
之后，志村五郎到美国普林斯顿高等研究院做访问学者，谷山丰也已被普林斯顿高院聘为教授，即将成行。并且，谷山丰还正在准备结婚。想不到他却自杀了，留下一封长长的遗嘱：
“直到昨天，我还没有明确的自杀意向。但一定有不少人注意到，最近我身心疲惫。至于自杀的原因，我自己也不太清楚，但这不是某件事或某件事的结果。我只能说，我现在处于一种对未来失去信心的心态。我的自杀可能会给某些人带来困扰或某种程度的打击。我真诚地希望这件事不会给那个人的未来蒙上阴影。无论如何，我不能否认这是一种背叛，但请原谅这是我以自己的方式做出的最后举动，因为我一生都在以自己的方式行事……“
大约一个月后，他的未婚妻铃木美沙子也自杀（一氧化碳中毒）了，并留下一张纸条，上面写着： “我们彼此承诺，无论去哪里，我们都不会分开。现在他走了，我也必须离开去跟随他。“
“谷山 - 志村猜想“的另一位主角志村五郎，从 1964 年开始，成为普林斯顿大学的教授，一直到 1999 年退休。他对数学作出很多贡献，还培养了不少杰出的学生，也见证了他们的猜想被证明，以及帮助证明了费马大定理的艰难历程。志村 2019 年于 89 岁高龄在普林斯顿去世。
在后来的回忆文章 【 2 】 中，志村说谷山丰是因患有抑郁症而自杀的。这位在那个时代中最杰出和颇具开创性的数学家，当自己即将结束自己 30 年的生命历程时，还不忘他的数学工作。他在遗嘱中说明了他所教授的课程“微积分”与“线性代数”的进度，取得的进展，并向同事们道歉，希望大家谅解他这个举动所造成的麻烦，并留下了一份数学笔记，关于他们的“猜想“，即现在的模性定理。
2 ，模性定理
椭圆曲线是代数几何的对象，而模形式是数论中用到的某种周期性全纯函数。而模性定理（谷山－志村定理）则建立了两者之间的重要联系。
模性定理有多种表述方法，下面介绍最容易理解的一种。
若 p 是一个素数， E(Q) 是有理数域 Q 上的一个椭圆曲线，我们可以用模 p 约化的方法在有限域 Fp 上定义 E(Fp) ；如此将会得到有 n(p) 个元素的的一个离散的椭圆曲线。然后考虑如下序列
e(p) = n(p) – p ，
这是椭圆曲线 E 的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个序列 m(q) 。如果一个椭圆曲线的序列 e(p) 和从一个模形式得到的序列 m(q) 相同，这个椭圆曲线叫做“模的”。谷山 - 志村定理说：
“所有 Q 上的椭圆曲线都是模的。”
换言之，椭圆曲线与模形式是一一对应的，每个椭圆曲线方程都可以用模形式表达出来。以下举例说明刚才表述的模性定理。
费马大定理和谷山－志村猜想是共存关系。如费马大定理成立则谷山 - 志村猜想也成立，反之亦然。在 1960 年代，谷山－志村猜想和统一数学中的朗兰兹（ Robert Langlands ）纲领联系起来，并且是其中关键的组成部分。
在 1995 年，安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒证明谷山－志村定理的一个特殊情况（半稳定椭圆曲线的情况），这个特殊情况足以证明费马大定理。
完整的证明最后于 1999 年由布勒伊、康莱德、戴蒙德和泰勒作出，他们在怀尔斯的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。
怀尔斯和加拿大数学家罗伯特·朗兰兹分享了 1996 年的沃尔夫数学奖。虽然他们并没有完成这个定理的完整证明，但他们被认为对最终完成证明有着决定性影响的人物。
参考资料：
【 1 】维基百科 -Modularity theorem ： https://en.wikipedia.org/wiki/Modularity_theorem
【 2 】谷山丰的一生： https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/11145880.html
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