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速读：根据我们对三维伊辛模型配分函数的分析，存在两种贡献，一种是自旋指向的局域贡献，一种是自旋之间长程纠缠的全局性贡献。根据上述结果，我们得出结论：博文《终结猜想-28-拓扑克利福德代数》中图3表示的零磁场三维伊辛模型的配分函数等价于图10中五个图表示的结构的配分函数。我们通过研究三维伊辛模型的精确解回答了这个问题：在多体相互作用体系自旋间的长程纠缠效应相关的非平庸拓扑结构要求时间的自发产生。 (c)其中红色曲线为局域自旋指向映射的纽结结构，蓝色辫子代表自旋间长程纠缠效应。应用图7中的映射关系将图10(a)中的局域自旋指向映射成纽结，我们获得图10(c)中的拓扑结构，其中红色曲线为局域自旋指向映射的纽结结构，蓝色辫子代表自旋间长程纠缠效应。

终结猜想-30-拓扑贡献

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2024-11-26 08:24

| 个人分类: 追梦 | 系统分类: 科研笔记

作为一个科技工作者，我们需要具有丰富的想象力，特别是在原始探索过程中。面对一个没有标准答案的世界性难题，在解的形式以及求解的路径都是未知的情况下，我们需要充分发挥丰富的想象力，建立世界万物与所解决的问题之间可能的联系。这些联系可能是错误的，牵强附会，甚至是荒诞不经的。但是，我们不要怕犯错误。通过想象力建立联系后再逐个分析，用排除法将不合理的联系清除掉，剩下的就可能是正确的联系。其次，我们需要具有强大的洞察力。思维要具有穿透力，透过现象的表面看穿本质，抓住问题的主要矛盾，将一个非常复杂的问题简单化。再次，我们需要具有强大的逻辑推理能力。在大胆探索的过程中，我们可以通过逻辑推理获得正确的结果。另一方面，在探索过程中也可以利用反逻辑、逆逻辑、无逻辑等非常规思维，包括逆向思维、发散思维、潜意识思维等获得启示，对解决问题有所帮助。但是，在获得最后结果的时候，整体上必须符合正常的逻辑，论证的逻辑链条必须完整清晰。论文的呈现也必须符合正常逻辑的规范。

插几句人工智能的八卦。近年来，人工智能的发展高歌猛进， AlphaGo 战胜人类围棋世界冠军， ChatGPT 可以写出漂亮的文章以及制作视频， AlphaFold 能够准确预测蛋白质的三维结构。。。从而引发人工智能超过人脑的担忧。大呆认为，人工智能要超越人脑还有很长的路要走。人工智能通过神经网络模拟人脑的运行，但是尚无法模拟人脑中的奇特行为，如上面提及的想象力、洞察力。目前人工智能仅仅有正向逻辑，需要解决反逻辑、逆逻辑、无逻辑运算等技术障碍，能够模拟人脑中的逆向思维、发散思维、潜意识思维等。时常有新闻报道，人工智能解决了某一个科学难题。简单思考一下就可以判断是假新闻或者恶意炒作。因为人工智能依赖于大数据，从中得到一些似是而非的结论，如果大数据中不存在这个科学难题的正确答案，人工智能无法从中提取任何正确的解决方案。目前，人工智能无法在阿里巴巴数学竞赛中取得好成绩，数学竞赛的题目是有标准答案的，而真正的科学难题是没有标准答案的。另外，一个科学难题通常要面对无限大的问题，面对无限大的数据处理计算机会涉及指数级的计算量增长，通常会崩溃，更无法从中涌现出原创性的思维。所以，人工智能能够战胜人类的问题均不是真正的难题，基本上属于堆积记忆力和计算量就可以完成的任务，要解决真正的世界性难题还得靠人脑。

在铃木理教授撰写论文手稿时，数易其稿。有时候是按照两篇论文的框架，有时候是按照一篇论文框架。在投稿前，我感觉按照一篇论文的框架发表具有系统性，但是内容过于庞杂，不利于审稿人和读者的阅读和理解。所以，就按照两篇论文的架构，分别证明猜想一和猜想二。先投稿证明猜想一的论文，顺利被 Mathematics 接受发表。在整理第二篇 Mathematics 论文时，我感觉剥离下来的内容比较单薄，就想着增加一些内容。增加了定理 1 的证明：零磁场下的三维伊辛模型可以被映射为一个 (3+1) 维伊辛自旋晶格或者一个 (3+1) 维平庸拓扑结构。用非常简明的图形表示研究三维伊辛模型中的拓扑学问题，从而深入地探讨了非平庸拓扑结构对热力学物理性质的贡献，并且展示时间维度是如何自发产生的。

根据拓扑学理论，我们首先给出拓扑结构的交叉与伊辛自旋指向（自旋向上或者自旋向下）、自旋数值（ +1 或者 -1 ）之间的映射关系（见图 7 ）。

图 7 ，拓扑结构的交叉与伊辛自旋指向（自旋向上或者自旋向下）、自旋数值（ +1 或者 -1 ）之间的映射关系。

利用上述关系，我们发现一个随机交叉分布的二维纽结可以被映射为一个二维伊辛模型，反之亦然（见图 8 ）。注意，对于二维伊辛模型或者二维纽结，我们仅需考虑自旋指向或者纽结交叉两者之一即可。显而易见，拓扑结构与自旋结构一样，可以具有能量。我们非常熟悉自旋结构中的自旋指向表示一定的能量。由于自旋间的相互作用，改变自旋指向会改变体系的能量。我们也可以直观地理解拓扑结构对能量的贡献：想象在一个交叉路口，建一个东西走向的过街天桥。与在平地过路口相比，走过街天桥肯定要多付出能量。如果我们将东西走向的过街天桥改成南北走向，改变了体系的同时也肯定需要付出一定的能量。所以，具有拓扑结构的体系必定存在相应的能量，可以称作纽结能或者拓扑能。原则上，我们可以计算二维纽结的配分函数、自由能以及比热等物理性能。

图 8，随机交叉分布的二维纽结与一个二维伊辛模型之间的映射。

利用图 7 中的映射关系，我们还可以将一个辫子映射为一个自旋链，反之亦然（见图 9 ）。

图 9. 一个辫子与一个自旋链之间的映射关系。

根据我们对三维伊辛模型配分函数的分析，存在两种贡献，一种是自旋指向的局域贡献，一种是自旋之间长程纠缠的全局性贡献。博文《终结猜想 -28- 拓扑克利福德代数》中图 3 表示三维晶格构成的基本纽结 γ 以及与晶格点相连接的转移矩阵 V 3 的辫子。由于图形比较复杂，我们仅画出部分晶格点以及三条辫子作为例子，辫子的尾端也没有与最近邻晶格点连接。为了更加直观地表示三维伊辛模型中的拓扑结构，我们可以利用模型的平移对称性，仅仅画出一个晶格单胞的拓扑结构，然后沿着三个晶体轴方向周期性地复制单胞，就能够完整地表示整个体系的拓扑结构。所以，我们将三维伊辛模型描述成三维晶格格点上的自旋指向加上沿着第三维度方向自旋间的辫子（如图 10(a) ），其中红色箭头代表局域自旋的贡献，而蓝色辫子代表非平庸的纽结结构对物理性质的贡献，属于平面内所有自旋间的长程量子纠缠。在图 10(a) 中我们仅用一个晶胞来表示三维晶格。考虑到沿着三维方向的平移对称性，图 10(a) 的表示与博文《终结猜想 -28- 拓扑克利福德代数》中图 3 的表示等价。应用图 9 辫子与自旋链的映射关系，我们将图 10(a) 映射为图 10(b) 的结构，为三维晶格格点上的自旋加上沿着第三维度方向自旋间的一条自旋链。可以看出，这一条附加的自旋链等效于在三维晶格上增加了一个新的维度。由于不同自旋链上的自旋之间没有直接相互作用，这个新的维度不是完全充满的，体系不是四维空间，而是 (3+1) 维度时空。也就是说，自发产生了时间维度。

图 10. 三维伊辛模型一个晶格单胞示意图。 (a) 其中红色箭头代表自旋指向的局域贡献，蓝色辫子代表平面内自旋间长程纠缠效应。 (b) 其中红色箭头代表自旋指向的局域贡献，黑色箭头代表自旋链上的自旋，代表平面内自旋间的长程纠缠效应。 (c) 其中红色曲线为局域自旋指向映射的纽结结构，蓝色辫子代表自旋间长程纠缠效应。 (d) 映射成 (3+1) 维伊辛模型一个晶格单胞示意图，包含局域自旋和非局域自旋链两种自旋指向的贡献。 (e) 映射成 (3+1) 维伊辛模型一个晶格单胞示意图，包含局域自旋和非局域自旋链对应两种纽结的贡献。

应用图 7 中的映射关系将图 10(a) 中的局域自旋指向映射成纽结，我们获得图 10(c) 中的拓扑结构，其中红色曲线为局域自旋指向映射的纽结结构，蓝色辫子代表自旋间长程纠缠效应。从图 10(b) 的结构可以清楚地看出，附加的自旋链等效于一个新的维度时间，可以进行一个变换，映射为如图 10(d) 的 (3+1) 维度的时空晶格点阵，它包含局域自旋和非局域自旋链两种自旋指向的贡献。由于图 10(b) 的所有晶格点（包括三维晶格点上自旋和自旋链）没有布满整个四维空间，所以图 10(d) 的晶格点为 (3+1) 维度时空，并且具有一定的拓扑相因子作为从高维向三维的投影。同理，图 10(c) 中的拓扑结构可以被映射为如图 10(e) 的 (3+1) 维度的时空拓扑结构。根据拓扑学理论，在四维空间或者 (3+1) 维时空不存在非平庸的拓扑结构，所以这个映射自动将三维空间的非平庸拓扑结构平庸化。根据上述结果，我们得出结论：博文《终结猜想 -28- 拓扑克利福德代数》中图 3 表示的零磁场三维伊辛模型的配分函数等价于图 10 中五个图表示的结构的配分函数。

前面提及对于二维伊辛模型我们仅需考虑自旋指向（或者纽结交叉）对物理性质的贡献即可。而对于三维伊辛模型，我们需要计及局域自旋指向和长程纠缠的辫子两者的贡献。两者之和等价于局域自旋指向加非局域贡献的自旋链。所以，我们可以用一个三维晶格点上的局域自旋加自旋链的模型来模拟三维伊辛模型，计算三维伊辛模型的配分函数、自由能以及比热等物理性能。可以自豪地说，大呆发现了三维多体相互作用体系中由于自旋长程纠缠导致的非平庸拓扑结构对热力学物理性质的贡献。

大呆还发现：在多体相互作用体系，由于存在自旋间的长程纠缠效应，平庸化拓扑结构的过程自发产生时间。对于时间的加入，我们首先想到的是简单地对 t 个三维伊辛模型的复制品进行简单加和，然后再除以 t ，这不改变体系的物理性质，但是也不解决拓扑学问题，因为这个过程无法除去转移矩阵中的内因子，并且转移矩阵以及其中的算符仍然不对易。我们发现，对于三维伊辛模型等多体相互作用体系，可以用如下四种方法引入时间，其结果是等价的。一）在克利福德代数方法论文中定理一引入的方法，通过在转移矩阵的直乘中引进单位矩阵并且调节其位置，保持迹不变。详细见博文《终结猜想 -18- 迹不变定理》。二）在 (3+1) 时空中叠放 t 个三维伊辛模型的复制品 ( 即 , t 个片段 ) ，具有在转移矩阵中因子（或者算符）的位置的演化。从 N 个满足约当代数的矩阵的乘法方程很清楚地看出，在 (3+1) 时空中叠放 t 个具有不同算符位置的三维伊辛模型复制品将导致转移矩阵（以及分转移矩阵）的约当代数的乘法运算成立，它们对易。详细见博文《终结猜想 -22- 对易性定理》。三）构建纽结 / 克利福德代数，引入黎曼面，在黎曼面流形上求解黎曼 - 希尔伯特问题，进行单项变换实现平庸化拓扑体系，同时引入时间维度。详细见博文《终结猜想 -29- 单项变换》。四）进行拓扑变换，也就是进行洛伦兹变换，将图 10(c) 中三维空间的非平庸拓扑结构映射为图 10(e) 的 (3+1) 维度时空的平庸拓扑结构。拓扑变换的描述见博文《终结猜想 -7- 拓扑变换》。

爱因斯坦的相对论提出时间的相对性、时间与空间的转换（洛伦兹变换），但是没有回答如何产生时间这个重大问题。我们通过研究三维伊辛模型的精确解回答了这个问题：在多体相互作用体系自旋间的长程纠缠效应相关的非平庸拓扑结构要求时间的自发产生。而且，我们还揭示上面的四种引入时间维度的过程其结果是等价的。也就是说，我们利用三维伊辛模型作为一个学科交叉的平台，建立了物理、代数、拓扑、几何的联系。

下回更精彩，见《终结猜想 -31- 量子与几何》。