科学网—终结猜想

速读：转移矩阵V1和V2贡献零磁场下三维铁磁性伊辛模型的拓扑结构的平庸部分（圆或者间隔），而转移矩阵V3贡献体系的非平庸部分（辫子）。可以应用黎曼-希尔伯特问题到三维铁磁性伊辛模型的表示。我们将上面构建的晶格纽结加长程纠缠辫子的拓扑结构表示到黎曼面上。而且，存在非平庸的拓扑结构实际上就隐含了一项附加的能量，是拓扑结构对物理性质的贡献（见下一篇博文《终结猜想-30-拓扑贡献》）。俄罗斯数学家佩雷尔曼用里奇流(Ricciflow)的方法证明庞加莱猜想，其中就涉及对拓扑结构的奇点做外科手术。

终结猜想-29-单项变换

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2024-11-19 08:19

| 个人分类: 追梦 | 系统分类: 科研笔记

一个人能够成功有许多因素，取决于天赋、智力水平、教育经历、成长环境、个人努力、机遇甚至运气等。作为一个科研工作者，需要具备好奇心、品味、直觉、自信心、大胆探索、学习能力等，详见《终结猜想 -24- 科研初心》、《终结猜想 -25- 大胆探索》、《终结猜想-28- 拓扑克利福德代数》。当然，还有其他一些基本的素养，如真诚、想象力、洞察力、逻辑思维等。我认为这几个素养也非常重要。在后面的博文中，将结合求解三维伊辛模型精确解的过程进行简单的介绍，重要性排名不分先后。

作为一个科研人员，一个重要的品质就是真诚，不仅仅待人要真诚，也要真诚地面对大自然。因为大自然是真诚的，只要我们真诚地面对自然，大自然必然会给你真诚的回馈，收获你想得到的真实结果。我们要直面在探索过程中遇到的困难，不能绕着走，更不能弄虚作假，要敢于迎难而上克服困难解决问题。当你解决问题之后，你会豁然开朗，柳暗花明又一村，进入一个新的天地。

在第一篇 Mathematics 论文中，我们通过证明定理 I-III 来证明大呆猜想一。这三个定理的内容简述如下：可以用带有正常晶格纽结 γ 、两种基本纽结（圆或者间隔、辫子）以及它们的交叉的纽结 / 克利福德代数来构建零磁场下三维铁磁性伊辛模型的配分函数。转移矩阵 V 1 和 V 2 贡献零磁场下三维铁磁性伊辛模型的拓扑结构的平庸部分（圆或者间隔），而转移矩阵 V 3 贡献体系的非平庸部分（辫子）。每一条辫子均代表平面内 N 个自旋之间的长程纠缠效应，对应于转移矩阵中的非线性内因子。可以应用黎曼 - 希尔伯特问题到三维铁磁性伊辛模型的表示。对于零磁场下三维铁磁性伊辛模型的配分函数的产生算符 V i (i = 1,2,3) ，我们可以有一个纽结 γ 。当将纽结 γ 表示到黎曼面上，我们可以有一个表示：

用表示 V i (i = 1,2,3) 。我们发现是具有正则奇异点的多值函数 (i = 1,2,3) ，满足条件以及代表 exp( V i ) 。对于在流形 M 上任意一个纽结 / 克利福特代数元素，我们通过单项变换平庸化来实现一个四维流形上的平庸化。

为了证明大呆猜想一，我们需要利用黎曼曲面来表示获得的拓扑结构。黎曼曲面是德国数学家黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。黎曼曲面就是连通的一维复流形。被认为是一个复平面的变形版本：在每一个局部看来，它们就像一片复平面，但可能具有极为不同的整体拓扑结构。例如，可以看起来像一个球或者环，或者粘连在一起的两个页面。黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一，而且与现代数学的许多分支密切相关，如多复变函数论、复流形、代数几何、代数数论等。由于黎曼 - 希尔伯特问题针对的就是复变函数的多值函数存在性，所以涉及到黎曼曲面。

我提出的第一个猜想是：三维伊辛模型中存在的拓扑学问题可以被在四维空间的附加旋转打开。实际上，对于数学家来讲，四维空间打开纽结是一个不证自明的结果。因为根据拓扑学的理论，在四维空间不存在非平庸的纽结。在四维空间自动打开任何纽结。当然，具体到三维伊辛模型需要严格证明，给出具体的论证过程，以及证明没有改变体系的能量以及物理性质。数学上有几种打开纽结的路径：一）通过一个拓扑变换（洛伦兹变换）将系统从两种不同交叉的基变换到两种不同非交叉的基，反之亦然。洛伦兹变换隐含增加一个维度。详细见博文《终结猜想 -7- 拓扑变换》。二）将纽结推移到无限远处。 2012 年 7 月 7 日至 15 日我在波兰 Będlewo 举行的 Hypercomplex Seminar 2012 上做邀请报告，见博文《终结猜想 -11- 波兰论剑》。 Julian Lawrynowicz 教授在主持我的报告时给出一个形象的说明：在一个棍子上绕了一圈圈的纽结，可以将这些纽结沿着棍子推移到无限远处，就可以打开纽结了。这个过程中的无限远也隐含增加一个维度。三）对纽结的交叉奇点做外科手术。俄罗斯数学家佩雷尔曼用里奇流 (Ricci flow) 的方法证明庞加莱猜想，其中就涉及对拓扑结构的奇点做外科手术。我认为可以通过外科手术证明我的猜想一。后来，与铃木理教授讨论，他认为外科手术改变体系，不赞同。当时，我由于对里奇流理解不深刻，没有把握，就放弃了这个思路。四）单项 ( Monoidal ) 变换。这是铃木理教授熟悉的，所以本论文就按照他的路数进行。

插几句关于庞加莱猜想的题外话。庞加莱猜想：任何一个单连通的、闭的三维流形一定同胚于一个三维球面。任何一个单连通的、闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。庞加莱猜想是关于三维流形的拓扑结构的命题。而解决三维伊辛模型精确解的关键问题也是拓扑学的。我一直有一个直觉，可以用庞加莱猜想来帮助证明三维伊辛模型精确解的猜想。我曾经下载了佩雷尔曼发表在 arXiv 上的三篇论文以及后续其他三个研究小组详细论证的论文。发现佩雷尔曼的一篇论文中提及庞加莱猜想与统计物理的关系，但是表述得不是很明确，如何与三维伊辛模型建立联系是一个问题。我认为，用里奇流的方法对拓扑结构中的奇点做外科手术，可以应用到三维伊辛模型打开纽结。铃木理教授认为外科手术改变体系，增加能量。我认为这不是无法应用外科手术的理由。因为进行拓扑变换（洛伦兹变换），增加一个旋转变换矩阵也会增加能量。而且，存在非平庸的拓扑结构实际上就隐含了一项附加的能量，是拓扑结构对物理性质的贡献（见下一篇博文《终结猜想 -30- 拓扑贡献》）。现在，我仍然认为可以通过外科手术证明猜想一，打开三维伊辛模型中的非平庸纽结，再证明猜想二用拓扑相因子进行能量补偿。用庞加莱猜想以及里奇流、外科手术来证明大呆猜想一是一个有意义的问题。

回到本博文的主题，用单项变换证明大呆猜想一。我们将上面构建的晶格纽结加长程纠缠辫子的拓扑结构表示到黎曼面上。然后在黎曼面上应用黎曼 - 希尔伯特问题相关的 Rohrl 定理的结果。再应用单项变换对非平庸的拓扑结构进行平庸化。单项变换是数学上的一个变换，在高维空间打开纽结。其基本思想就是通过方向分离，也就是扩维度。进行一个坐标变换。例如，将原来的二维坐标 (w,t) 扩充为三维坐标 ( m , m ’, n ’) （见图 4 ）。同理，对于三维伊辛模型体系将三维坐标扩充为四维坐标。简单地讲，原来体系中的点变成了线，线变成了面，面变成了体，三维的体积变成了四维的体积。有点“无中生有”的意思。单项变换有一些非常复杂的代数表达式，与杨 - 巴克斯特方程以及 Reidemeister 移动有密切的关系（见博文《终结猜想 -7- 拓扑变换》、《终结猜想 -8- 杨 - 巴克斯特方程》），在拓扑量子场论等方面有非常重要的应用。在我们的工作中，没有展示其代数结构，仅仅用图形表示其变换过程。图 5 展示了如何将一个间隔扩充一个维度，将间隔的交叉点扩展为一个圈，然后将两个圈圈分离。图 6 展示了如何将一个辫子扩充一个维度，将辫子的所有交叉点扩展为一个个的圈圈，然后将所有圈圈都分离开来。无论一个拓扑结构包含如何复杂的纽结，我们都可以进行这种操作过程。这样，自然而然地就可以打开纽结，实现平庸化非平庸纽结结构的目的。可以看出，通过单项变换，我们将三维体系中许多个 G 矩阵的乘积构成的非线性项（辫子）转变成在高维空间一组组两个 G 矩阵的乘积（圆圈）。两个 G 矩阵的乘积可以表示成平面旋转变换（洛伦兹变换），可以利用昂萨格和考夫嫚求解二维伊辛模型的方法进行平面旋转变换。从而就证明了大呆猜想一。

图 4 在纽结的交叉点进行单项变换。

图 5 第一类纽结（间隔）的平庸化。

图 6 有三个交叉点的第二类纽结（辫子）的平庸化。

从上面的图形展示可见，进行单项变换实际上就是加一个维度打开纽结。这在数学上是非常自然的操作。在四维空间不存在非平庸的纽结结构。这也是数学军团一帮数学家支持我的原因。在这里，我们只不过详细地演示了具体的打开纽结的过程。现在有一个时髦的词汇“降维打击”，四维空间的生物到三维空间可以降维打击三维生物。反过来，三维空间的困难问题在四维空间变得非常容易！

下回《终结猜想 -30- 拓扑贡献》更精彩。