科学网—终结猜想-28-拓扑克利福德代数

速读：大呆在博文《终结猜想-14-配分函数》、《终结猜想-15-克利福德代数》中曾经详细地介绍了在三维伊辛模型的配分函数中存在非平庸的拓扑结构和克利福德代数。为了用代数描述三维伊辛模型的配分函数中非平庸拓扑结构，我们需要构建一种新的代数。在这里，我和铃木理教授将克利福德代数与三维伊辛模型晶格点的拓扑结构进行组合形成一种新的代数，定义为纽结/克利福德代数，也可以称为拓扑克利福德代数。将处理三维伊辛模型配分函数中克利福德代数表示的非平庸拓扑结构的问题，转化为处理纽结/克利福德代数表示的纽结+辫子的拓扑结构问题。也就是说，在三维伊辛模型中有两种纽结结构：一）由最近邻相互作用在晶格上形成的基本纽结；

终结猜想-28-拓扑克利福德代数

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2024-11-12 08:15

| 个人分类: 追梦 | 系统分类: 科研笔记

从事科学研究第六重要的是具有强大的学习能力，特别是自学的能力。如同海绵吸水一样吸收不同领域的知识，如同墨斗鱼一样具有很长的触角探究知识，如同蜘蛛织网一样构建自己的知识网络。学习也有一定的方法，通过教科书学习基础知识。可以粗读，也可以精读。精读可以将书从头到尾仔细地读，也可以选择性地挑需要的章节仔细研读。一本书看不明白，可以放一放，过一段时间再读。可以另外买几本相同专题的教科书，比对着读，直到读懂读透为止。查文献，通过不同的关键词，检索大量的文献。通常我从事一个新课题，总是要阅读成百上千的文献，从中挑选出重要的文献进行精读，并且对重要的部分做翻译摘录，从而对整个领域的研究进展有深入的了解。另外，通过其他不同信息渠道获取相关信息，例如通过合作研究、参加会议、新闻报道、网络信息等等，甚至道听途说。探究知识信息的触角要非常敏感，身体总是紧绷着一根弦，随时随地拓展知识领域。通过不断的学习，不断地提升自己的科研能力。可以说，通过自学，大呆将自己从一名从事磁性材料实验研究的工作者培养成为一个统计物理学家（解决了一个物理学百年难题）、一个数学家（解决了一个数学和计算机领域的难题）。

大呆在前一段文字中说了那么多，实际上隐含了一个意思：从事科学研究如果想获得成功，还需要勤奋。在同等天赋条件下，勤奋者肯定能够收获更大的成就。鲁迅说过，“我是把别人喝咖啡的时间都用在写作上。”从事科学研究肯定需要花费大量的时间。无论是看书还是看文献都需要时间。时间从哪里来？从每一天每一分每一秒挤出来。大呆是把别人花在升官发财、娱乐交际等上面的时间，花在钻研三维伊辛模型精确解这样的学问上，日积月累，功力不断精进，铁杵磨成针。正所谓，宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。当然，勤奋不等于苦读书、死读书，适当的休闲、娱乐的调节也是有必要的。

大呆在博文《终结猜想 -14- 配分函数》、《终结猜想 -15- 克利福德代数》中曾经详细地介绍了在三维伊辛模型的配分函数中存在非平庸的拓扑结构和克利福德代数。为了用代数描述三维伊辛模型的配分函数中非平庸拓扑结构，我们需要构建一种新的代数。以前一提到创建代数，大呆就感觉神秘和遥不可及。实际上，数学家有许多办法构建一种新的代数。可以根据研究的需要，按照一个规则自洽地创建一种代数，也可以将两种或者多种已经存在的代数组合起来构建一个新的代数。在这里，我和铃木理教授将克利福德代数与三维伊辛模型晶格点的拓扑结构进行组合形成一种新的代数，定义为纽结 / 克利福德代数，也可以称为拓扑克利福德代数。分别代表三维伊辛模型晶格点的拓扑结构和转移矩阵中 G 矩阵对应的克利福德代数。利用纽结 / 克利福德代数，我们可以将三维伊辛模型的拓扑结构表示成晶格点的纽结、每个晶格点连接上圆圈（等价于间隔）和辫子形成的组合拓扑结构。图 1 表示第一类纽结，用一个圆圈 ( circle ) 或者间隔 ( interval ) 代表转移矩阵 V 1 和 V 2 中线性项的贡献，线性项由两个 G 矩阵的乘积构成。图 2 表示第二类纽结，用一个辫子 ( braid ) 代表转移矩阵 V 3 中非线性项的贡献，非线性项由许多个 G 矩阵的乘积构成，为转移矩阵中的内因子，代表非平庸的拓扑结构。当然，对于三维伊辛模型所有的晶格点，都需要附加上与转移矩阵 V 1 、 V 2 和 V 3 对应的圆圈（或者间隔）、辫子。这样，我们就可以用拓扑学的图像成功地表示三维伊辛模型配分函数中的克利福德代数，建立一一对应的关系。将处理三维伊辛模型配分函数中克利福德代数表示的非平庸拓扑结构的问题，转化为处理纽结 / 克利福德代数表示的纽结 + 辫子的拓扑结构问题。这其中涉及到代数、拓扑、几何的知识，我们建立了它们之间的联系。

图 1 ，第一类纽结（间隔），代表配分函数中的线性项。

图 2 ，第二类纽结（辫子），代表配分函数中的非线性项。许多个 G 矩阵的乘积对应一个有许多交叉的辫子。

在构建纽结 / 克利福德代数的过程中，我们遇到了许多困难。主要是如何用拓扑学的纽结图一一对应地表示三维伊辛模型转移矩阵的克利福德代数。在这方面我们花费了许多时间。在铃木理教授访问沈阳期间，我们基本上是 10-12 点讨论两个小时，第二天他早上 4 点左右起床将上一天的讨论结果整理出来。早饭后他去公园抓蝴蝶。 10-12 点再讨论，循环往复。困难在于用什么样的纽结图表示出三维伊辛模型中的拓扑学贡献。刚开始，铃木理教授不太理解转移矩阵中的物理贡献，而我不太理解各种纽结图的物理意义。铃木理教授手绘了各种各样的纽结图。通常是第二天的讨论推翻了前一天的结果，需要重新画图。经过激烈的讨论，进行了各种试错，最终确定了符合物理含义的纽结图。图 3 表示三维晶格构成的基本纽结 γ 以及与晶格点相连接的转移矩阵 V 3 的三条辫子的例子。为了简单起见，没有展示所有的晶格点上的辫子，没有展示转移矩阵 V 1 和 V 2 中的圆（间隔）以及每个晶格点上的自旋。也没有展示每条辫子的另一端与沿着第三维度方向的最近邻晶格点相连。无论如何，这个纽结图能够准确地表示三维伊辛模型转移矩阵，完美地体现了非平庸的拓扑结构对物理性质的贡献。也就是说，在三维伊辛模型中有两种纽结结构：一）由最近邻相互作用在晶格上形成的基本纽结；二）由非局域的长程自旋纠缠导致的非平庸辫子。后来，其他科学家利用我们的拓扑图进行蒙特卡洛计算，证实我们的结果的正确性，加上辫子的贡献后得到精确解的临界指数（在后续的博文中将详细介绍）。

图 3. 与纽结 γ 的晶格点相连接的转移矩阵 V 3 中辫子其中的三条举例，为了简单起见没有展示转移矩阵 V 1 和 V 2 中的圆（间隔）以及每个晶格点上的自旋。没有展示每条辫子的另一端与沿着第三维度方向的最近邻晶格点相连。

在铃木理教授访问沈阳期间我们完成了两篇论文的初稿，然后他就不太关心论文了。论文发表不发表对他来讲无所谓。按照他的说法，做科研如同抓蝴蝶，最重要的是抓的过程，抓到蝴蝶后就没有趣味了。另外，他毕竟年纪大了（当时七十岁出头），加之许多年没有绞尽脑汁做研究工作，可能也是累着了。实际上，我也感觉有点累。休息了好一阵子，收拾好心情，我才开始打扫战场。将铃木理教授手写的论文初稿录入到计算机，补充、修改、完善论文手稿，用计算机画好铃木理手绘的纽结图。在改进论文的过程中，又逐步深入理解了涉及到的数学思想和工具，并且搞清楚了几处原来有点犯迷糊的地方。实际上，论文中最重要的创新就是用黎曼 - 希尔伯特问题来证明大呆猜想、构建拓扑克利福德代数。其他的大部分数学理论和技术都是教科书上的内容，铃木理教授就是从教科书或者文献中（包括他上世纪七十年代的工作）照搬到论文中，进行有机组合，打了一套组合拳，直接应用过来解决三维伊辛模型的问题。由于他的数学基本功扎实，并且一直从事教学工作，写下的东西肯定没有错误（因为板书有错误学生一定会指出来的。我是慢慢地认识到这一点的，这也许是教授讲课的意外收益）。对于他来讲，证明猜想的流程是一个标准的数学作业（当然，是一个大个有难度的作业）。两篇论文直到 2021 年通过同行评议在 Mathematics 上发表。我们将纽结与克利福德代数联系起来，在拓扑与代数之间架设了一座桥梁。

具体求解过程请见下回分解，《终结猜想 -29- 单项变换》。