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科学网—费马大定理


速读:模形式是定义在复数的上半平面H,H可以由共形映射转换到单位圆盘D中的点。 模形式的对称性是如此惊人和复杂,使模形式比三角函数更为强大,特别是对数论问题而言,它们可用于编码有关整数的深层算术信息。 爱森斯坦是喜欢数论的小神童,不幸从小健康不佳,患有脑膜炎等疾病,他于29岁时就死于肺结核。 爱森斯坦以最简单的模形式“爱森斯坦级数”闻名,另一位同时代的德国数学家克罗内克(LeopoldKronecker,1823–1891)也对此作出贡献,见图2。 从模形式f(z)的定义来看,它们在离散矩阵群SL2(Z)的作用下以特定的线性分式的方式变换。
费马大定理-模形式

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2024-11-18 08:05

| 个人分类: 系列科普 | 系统分类: 科普集锦

怀尔斯证明费马大定理有三大要素:椭圆曲线、 模形式 、谷山 - 志村猜想,此篇介绍其二。

拉马努金是数学神才,他发现了数不尽的奇妙的数学公式,他研究这些公式的奇特性质。今天我们就从他写下的一个表达式开始……

图 1 :拉马努金 tao 函数

拉马努金( Ramanujan , 1887-1920 )研究的,乍一看好像也不是什么深奥的函数,展开后只是一个 q 的多项式级数而已。不过,拉马努金就是拉马努金,他善于发现一般人看不见的数学奥秘。他考察这个多项式的系数 t (n) ,发现一些特点,比如下面这个,系数 t (n) 之间有种奇怪的关联:

如果 m 和 n 互质,则 t (mn)= t (m) t (n) 。 (公式 1 )

比如说, 2 和 3 是互质的, t (2)=-24 , t (3)=252 ,计算 t (2)x t (3)=-24*252=-6048 ,正好等于 t (2x3)= t (6) 。还可以检查别的互质数对应的系数,发现它们都符合(公式 1 )。

有关这个 D (q) 函数,拉马努金还发现了其它几个有趣的性质,他把它们总结成了几个猜想,我们不在这儿一一列举了。这种类似的函数还有很多别的,比如:

等等。

以上所说的,与 D (q) 具有“类似”性质的函数,被数学家们称之为“ 模形式 ”,在数学上, 模形式 ( Modular form )被定义为一个上半复数平面上的全纯函数 f(z):

其中 k 是整数,叫做 模形式 的权。例如,拉马努金研究的 D (z) 函数,是权 k=12 的判别 模形式 。

比拉马努金更早, 模形式 还有另外一位老祖宗:德国犹太人数学家爱森斯坦( Einsenstein , 1823-1852 )。爱森斯坦是喜欢数论的小神童,不幸从小健康不佳,患有脑膜炎等疾病,他于 29 岁时就死于肺结核。爱森斯坦由于研究数论的原因而研究 模形式 ,并作出重要贡献。爱森斯坦以最简单的 模形式 “爱森斯坦级数”闻名,另一位同时代的德国数学家克罗内克( Leopold Kronecker , 1823–1891 )也对此作出贡献,见图 2 。

几个世纪以来数学家们一直对 模形式 丰富的对称性着迷。 模形式 越来越多地出现在各种各样的问题中:它们是怀尔斯 1994 年证明费马大定理的关键要素;乌克兰数学家, 2022 年菲尔兹奖得主马林娜用它解决高维空间的球体堆积问题;它们在朗兰兹纲领(“数学大统一理论”)中发挥着核心作用;它们甚至被用来研究物理中的弦论和量子物理学中的模型。

图 2 :爱森斯坦 模形式

在数学的发展过程中,开始时各个领域犹如一个个孤岛,之后,数学家们在孤岛之间架起桥梁,不仅应用不同的知识解决了难题,也建立起新的数学分支。例如,在数论的发展过程中就架起了多个桥梁,发展出了初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。属于解析数论的 模形式 ,便是复分析与数论之间的一座“桥梁”。人们可以通过 模形式 ,利用复分析的工具,来研究整数的性质,解决数论难题。黎曼猜想中使用的黎曼 zeta 函数也是解析数论中的一个核心函数,它编码了有关素数分布的重要信息。

为什么 模形式 更重要呢?因为它是一种在复上半平面上表现出特殊对称性的全纯函数。具有高度对称性的函数在科学研究中有重要的意义,最典型的例子就是三角函数(正弦、余弦函数),它们在物理及工程中的作用广为人知。 模形式 的对称性是如此惊人和复杂,使模形式比三角函数更为强大,特别是对数论问题而言,它们可用于编码有关整数的深层算术信息。

从 模形式 f(z) 的定义来看,它们在离散矩阵群 SL 2 (Z) 的作用下以特定的线性分式的方式变换。模形式的对称性由 2 × 2 的特殊线性群定义,其中矩阵中的四个数字始终为整数。

你可能会说,从三角函数的图像就可以看出它们的对称性,而 模形式 长什么样呢?怎么看出它们的对称性呢?的确如此,复数函数很难形象化,因为它是从一个复数平面映射到另一个复数平面,需要 4 维图像才能画出来。因此,目前的办法是求助于颜色和亮度,一定程度上也可以看出函数的对称性。

模形式 是定义在复数的上半平面 H , H 可以由共形映射转换到单位圆盘 D 中的点。因此, 模形式 的对称性可以用一个彩色的单位圆盘 D 来表示。有时也用 H 的方形彩色图表示。

例如,下图是判别 模形式 的图案:

图 3 :判别 模形式

从中可看出,有平移对称性、反射对称性、周期性、和自相似性。

最简单的 模形式 “爱森斯坦级数”的图像:

图 4 :爱森斯坦级数

模形式 与椭圆函数密切相关,关键关系在于“模性定理”(之前也称为谷山 - 志村猜想),将于下一篇介绍。

参考资料:

Zagier, D. (2008). "Elliptic Modular Forms and Their Applications," in The 1-2-3 of Modular Forms (edited by K. Ranestad), Springer, Berlin, Heidelberg.

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