拓扑空间

拓扑空间连续双射所导致的同胚概念的本质上是拓扑空间的某些几何结构在连续变换时不发生改变，比如拓扑空间的维度、紧致性、联通性等性质不发生改变，而这些不发生改变的性质，可以通过对应的不变量来反映，这些量就称为拓扑不变量，它可以用来判定两个拓扑空间是否等价。

前面已经提到如果X是一个光滑的复射影代数簇，那么它有更好的几何性质，即它可以被唯一地分解为有限多个不可约代数集的并集，而且其每一个不可约子代数集在闭集的意义下可以构成一个拓扑空间，称为扎里斯基拓扑(Zariskitopology)。

建立在单纯复形拓扑空间上的上同调可以称为经典上同调，而如果我们允许单纯复形中单形的边或面等“部件”可以任意弯曲或拉伸，此时的单形就成为奇异单形(SingularSimplex)，而由奇异单形构成的链则变成了奇异链(SingularChain)，而由奇异链构成的复形就被称为奇异链复形(SingularChainComplex)，此时由单形构成单纯复形就可以通过连续地形变(连续映射)对应到一个拓扑空间M，而这个拓扑空间上的上同调则被称为奇异上同调(Si

显然代数簇X的所有子集满足拓扑的所有条件，故首先构成了一个拓扑空间。

根据前面讲的复射影代数簇X的性质，X不仅是一个拓扑空间，还可以是一个光滑的流形X→M，而在这个光滑的流形上存在一个很好的微分结构。

注意此处的复形可以对应到一个光滑流形，它也是一个拓扑空间，其上存在如上所述的链复形(chaincomplex)，此时所涉及的链群根据定义链系数的数域K不同可称为K链群，如有理链群、实链群或复链群等等。

首先代数簇Z(m)(S)是由多项式集合S⊆K[x1,x2,···,xm]的零解集给定的，而这些零解集可以看成m维空间上的点集，这些点集可以构成一个拓扑空间，对应一定的几何结构；

建立在单纯复形拓扑空间上的上同调可以称为经典上同调，而如果我们允许单纯复形中单形的边或面等“部件”可以任意弯曲或拉伸，此时的单形就成为奇异单形(SingularSimplex)，而由奇异单形构成的链则变成了奇异链(SingularChain)，而由奇异链构成的复形就被称为奇异链复形(SingularChainComplex)，此时由单形构成单纯复形就可以通过连续地形变(连续映射)对应到一个拓扑空间M，而这个拓扑空间上的上同调则被称为奇异上同调(S

根据单纯复形上拓扑空间的性质，此时组成单纯复形拓扑空间的单形，其顶点之间就可以用随意弯曲的线连接并进一步成为一个连续的流层，而此时单纯复形就是由这些层流组成。

然而拓扑空间的拓扑性质有多种，其中最基本的拓扑不变性有：紧致性(封闭和有界的性质)、连通性(是否只有一个部分而不是多个独立部分的性质)以及豪斯朵夫(Hausdorffness)分离性(拓扑空间中点是否分离的)以及有向性(有没有内外的区分)等等。

上同调有两个基本特征：首先它只依赖于拓扑空间的洞(与单位元0元素有关，或由典型的边界路径，或者由同伦homotopy的概念来界定，此处不想牵扯太多概念，从略)，当然这也是同调的特征；

拓扑空间简单地来讲就是由集合X的子集为元素的一系列集族，而这些集族里的集合在集合交和并的运算下都保持封闭(集合是开集时集合交要求有限，集合是闭集时集合并要求有限)。