科学网—漫谈伯特兰悖论和伯特兰盒子悖论
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2024-11-11 08:04
| 个人分类: STEM札记 | 系统分类: 科普集锦
约瑟夫 · 伯特兰 （ Joseph Bertrand ， 1822 年 3 月 11 日 -1900 年 4 月 3 日）， 是 杰出的法国数学家、经济学家和科学史学家。他提出的 “ 伯特兰 悖论 ”（ Bertrand's paradox ）在概率论中非常著名，引发了人们对概率定义和随机变量选择的深入思考。 伯特兰 还 提出 过 “ 伯特兰 盒子悖论 ” （ Bertrand's Box Paradox ）。
1 伯特兰悖论
1.1 什么是 伯特兰 悖论
伯特兰悖论是由约瑟夫 ·伯特兰在其1889年的著作《概率计算 （ Calcul des Probabilites） 》中首次提出 的， 它困扰了研究人员 一百多 年 （ 参考资料 [1] ） 。这一悖论 提出了 一个看起来非常简单的 几何概率 问题， 似乎有三种同样合理但不相容的解决方案 。
请看图 1(A) 中包含内接等边三角形的圆 (即等边三角形的每个角都位于圆的圆周上)。假设在圆上随机画一条弦 （ 圆周到圆周的直线 ） ，如图中弦 k 。伯特兰 问： 这条弦 的 长度大于内接 等边三角形 边长的概率是多少？
图 1 伯特兰悖论 问题及其解决方案
这似乎是一个相当简单的问题，应该有一个同样简单的答案 ， 然而，伯特兰悖论 指出， 实际上有三种不同的答案，取决于你如何 “随机选择”弦。
以下 逐一查看在圆上随机绘制弦的三种方法 ： 随机 端点 、 随机半径 和 随机中点 。
解决方案 1 ： 随机端点 （Random Endpoints）
解决方案 1 是 通过随机 地 选择圆周上 一个点 P，从这一点出发， 创建弦。想象三角形现在被旋转以使一个角与 与 P点重合 ，如图 1(B) 所示。从图中可以看出，弦的另一个端点决定了这个弦是否 大于 内接 等边三角形 边长。 例如， 弦 a和 弦 d（蓝线）的长度小 于内接 等边三角形 边长 ， 弦 b和 弦 c（红线）的长度 大于内接 等边三角形 边长。
很容易看出，弦 大于 三角形边长的唯一 情景 是，它的远端点位于三角形两个远角之间的弧上。由于三角形的角将圆的圆周一分为三，所以有 1/3的机会远端点位于这个弧上；因此，弦 的 长度大于内接 等边三角形 边长的概率是 1/3。
解决方案 2 ： 随机半径 （Random Radius）
解决方案 2不是通过它的端点来定义我们的弦，而是通过在圆上画一个半径 R,如 图 1(C)中的虚线，并 想象旋转三角形，使 有 一 条 边平垂直于半径 R 。通过这个半径 R 构建一个垂直 于它的 弦 。 例如，图中的 弦 a和 弦 b（红线）大于 内接 等边 三角形边长， 弦 c和 弦 d（蓝线）小于 内接 等边三角形 边长。
很容易看出，如果弦在比三角形的边更靠近圆的中心的点 (如弦 a )穿过半径，那么它 的长度大于 内接 等边三角形 边长 ，而如果它在更靠近圆的边的点 (如弦 d )穿过半径，那么它 的长度小于 内接 等边三角形 边长 。根据基本几何学，三角形的边平分半径 (将半径切成两半)，所以弦有1/2的机会更靠近中心，因此弦有1/2的可能性其长度大于内接 等边三角形 边长。
解决方案 3 ： 随机中点 （Random Midpoint）
第三种解决方案假设弦 是 由中点的位置定义 的 。在图 1(D) 中， 等边 三角形内接一个较小的半径是大圆的 1/2 的 圆 C 。可以看出， 如果 弦 的 中点落在圆 C 内， 这个 弦 的 长度大于内接 等边三角形 边长 ， 如果 弦的中点落在圆 C外 ， 其 弦 长小于 内接 等边三角形 边长。 例如 弦 b（红线）的 长度大于内接 等边三角形 边长 ，而 a 弦 （蓝线）的长度小于 内接 等边三角形 边长。
因为小圆的半径是大圆的 1/2，所以它的面积是大圆的1/4。因此，随机 中 点位于较小圆内的概率为 1/4，因此弦 的 长度大于内接 等边三角形 边长的概率为 1/4。
1.2 计算机模拟
利用计算机模拟程序，用上述三种不同解决方案绘制 弦 ， 进行了 1,000,000次试验。此外，还试验了“随机 弦 ”（ 在圆周上随机选择两个端点构造 弦 ） 的方案。
图 2是程序输出。图2A、图2B、图2D中的红线表示 长度大于内接 等边三角形 边长的 的 弦 ， 蓝线表示 长度 小于 内接 等边三角形 边长的 的 弦 ； 图 2C的红圆点表示 长度 大 于内接 等边三角形 边长的 的 弦 ， 其中心在半径 0.5圆内部，蓝圆点表示 长度 小 于内接 等边三角形 边长的 的 弦 ， 其中心在半径 0.5圆外部。该模拟程序抽稀显示（每5000个弦显示1个；每2500个圆点显示1个）。
图 3是程序最后打印的模拟结果：“随机端点”、“随机半径”、“随机中点”三种解决方案， 其长度大于内接 等边三角形 边长 的几 率 分别是 : 0.333... ， 0.500...和0.250...；而“随机 弦 （ 在圆周是随机选择两个端点） ”， 其长度大于内接 等边三角形 边长 几率是 0.3335...。
图 2 模拟 伯特兰 悖论 不同的解决方案抽稀显示： A 随机端点；B随机半径；C 随机中点；D随机 弦
图 3 伯特兰 悖论 模拟结果输出截屏
2 伯特兰盒子悖论
2.1 什么是 伯特兰 盒子悖论
伯特兰盒子悖论 ，另 一个挑战我们逻辑直觉的经典概率难题 ， 也 是伯特兰 在 1899 年提出的 。有三个盒子 （ 图 4 ） ： A 盒子装两个金币， B 盒子装两个银币， C 盒子装一个金币和一个银币。随机选择一个盒子，从该盒子抽取一枚硬币，结果是金子，那么被选中的盒子是 A 盒子的概率是多少？ 答案是 有三分之二的概率打开的是 A 盒子 。
图 4 波特兰盒子问题
以下讨论 用贝叶斯定理解 “ 伯特兰 盒子 ”问题 （ 不关心数学细节者跳过 ） 。
伯特兰 盒子问题是问 “假设你 抽取 得到了一枚金币，那么 你 选择的盒子是 A 的概率是多少？” 。 我们用 G 表示“抽取 得到了一枚金币 ” 事件，用 A 表示“ 选择的盒子是 A 盒子 ” 事件， B 表示“ 选择的盒子是 B 盒子 ” 事件， C 表示“ 选择的盒子是 C 盒子 ” 事件。
利用 贝叶斯定理 公式 ，我们会得到这样的结果 :
我们知道，我们从三个盒子中随机选择一个盒子。所以， P(A)= P( B )=P( C )=1/3 。
由于 A 盒子装的两个 都是 金币， 所以， 如果我们选择 A 盒子，就有 100% 的概率选出一枚金币。所以， P( G |A)= 1 。 B 盒子装的两个 都是 银币，如果我们选择 B 盒子， 0% 的概率选出一枚金币 ， 所以， P( G | B ) =0 。 C 盒子装一个金币和一个银币 ， 如果我们选择 C 盒子， 有 5 0% 的概率选出一枚金币 ， 所以， P( G | C ) =1/2 。
现在可以计算 分母 P( G ) ， 利用全概率公式 ：
P( G )= P( G |A) P(A) + P( G |B) P(B) + P( G |C) P(C)
P( G )= 1 × 1/3+0 × 1/3+1/2 × 1/3
P( G )= 1/2
把 P( G ) 、 P( G |A) 和 P(A) 数值代入贝叶斯公式，得到
2.2 计算机模拟
图 8 是利用 Python 程序模拟 伯特兰 盒子悖论问题 的结果输出。程序模拟随机选择一个盒子，选择一个盒子后随机选择硬币。表示每次试验后更新金币来自盒子 A 的几率。从图 8 （上）中可以看出，在经过大约 20,000 次试验后，几率靠近红色虚线。红色虚线位于 2/3 处。图 8 （下）是经过 100,000 次试验后，打印输出的伯特兰盒子问题金币来自盒子 A 的几率为 0.6671 ，接近 2/3 。
图 5 波特兰盒子问题计算机模拟（上：每次试验后更新的“金子来自盒子 A ”的几率；下：模拟结果）
3 结语
如同蒙蒂霍尔问题和“男孩或女孩”悖论（见我的前两篇博客），“ 伯特兰盒子悖论”是一个挑战我们逻辑直觉的经典概率难题。它促使你重新思考随机选择的结果。
比起“ 伯特兰盒子悖论” ，“ 伯特兰悖论”是更为著名的经典概率悖论。伯特兰悖论突显了概率论中关于随机选择和几何测度的复杂性。 它展示了在给定条件下，不同的选择方式可能导致不同的概率计算结果。
伯特兰悖论的提出是对古典概率定义的冲击，推动了概率理论的严谨化和规范化。柯尔莫哥洛夫在 20世纪30年代提出的公理化结构，为概率统计方法提供了坚实的理论基础，明确了概率的定义、运算规则等，使得概率的研究更加严谨和规范。
计算机模拟为验证和研究概率悖论提供了强有力的工具。即使如同伯特兰悖论和伯特兰盒子悖论这样简单的问题，人工进行十万次或百万次试验，也并非轻而易举，而利用计算机模拟，只要几秒钟时间。
参考资料：
[1] Jinchang Wang and Rodger Jackson. Resolving Bertrand's Probability Paradox. Int. J. Open Problems Compt. Math., Vol. 4, No. 3, September 2011
***更正***： 上一篇博客《漫谈“男孩或女孩”悖论》中，最后一个图表的G4行（代表“第二个孩子是星期四出生的女孩”），有13个单元格误填充的图案，应改为空白。图案填充仅出现于B2列的单元格和B2行的单元格中。
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